(讲义)3.1.1 第2课时 函数的概念(二)-【提分教练】2023-2024学年新教材高中数学必修第一册(人教A版2019)

第2课时　函数的概念(二) 1．会判断两个函数是不是同一个函数．(数学抽象) 2．能正确使用区间表示数集．(数学抽象) 3．会求一些简单函数的值域．(直观想象、数学运算) 高铁是一张靓丽的中国名片，代表着“中国速度”．之所以称为“高铁”，是因为普快和快速列车的运行速度一般控制在80～120千米/时，特快列车的运行速度控制在120～140千米/时，而高铁的运行速度控制在200～350千米/时． 问题：用集合表示上述三类列车的运行速度的范围稍显麻烦，还有其他表示方法吗？ 知识点1　区间及有关概念 (1)一般区间的表示 设a，b∈R，且a<b，规定如下： 定义 名称 符号 数轴表示 {x|a≤x≤b} 闭区间 [a，b] {x|a<x<b} 开区间 (a，b) {x|a≤x<b} 半开半闭区间 [a，b) {x|a<x≤b} 半开半闭区间 (a，b] (2)特殊区间的表示 定义 R {x|x≥a} {x|x＞a} {x|x≤a} {x|x＜a} 符号 (－∞，＋∞) [a，＋∞) (a，＋∞) (－∞，a] (－∞，a) 1．(1)区间是数集的另一种表示方法，那么任何数集都能用区间表示吗？ (2)“∞”是数吗？ [提示]　(1)不是任何数集都能用区间表示，如集合{0}就不能用区间表示． (2)“∞”读作“无穷大”，是一个符号，不是数． 知识点2　同一个函数 如果两个函数的定义域相同，并且对应关系完全一致，即相同的自变量对应的函数值也相同，那么这两个函数是同一个函数． 2．若两个函数的定义域和值域相同，它们是否为同一个函数？对应关系和值域相同呢？ [提示]　都不是同一个函数．对于f1(x) ＝x和f2(x)＝3x，定义域和值域虽相同，但对应关系不同，故不是同一个函数；对于f3(x)＝x2，x∈[0，2]和f4(x)＝x2，x∈[－2，2]对应关系和值域虽相同，但定义域不同，故不是同一个函数． 知识点3　常见函数的值域 (1)一次函数f(x)＝ax＋b(a≠0)的定义域为R，值域是R． (2)二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)的定义域是R， 当a>0时，值域为[，＋∞)； 当a<0时，值域为(－∞，]． (3)反比例函数y＝(a≠0) 的定义域是{x|x≠0},值域为{y|y≠0}． 1．用区间表示下列集合： (1){x|10≤x≤100}用区间表示为________； (2){x|x>1}用区间表示为________． (1)[10，100]　(2)(1，＋∞)　[结合区间的定义可知(1)为[10，100]，(2)为(1，＋∞)．] 2．(1)函数f(x)＝x2＋1的值域为________； (2)函数f(x)＝－x2＋1的值域为________； (3)函数y＝的值域为________． [答案]　(1)[1，＋∞)　(2)(－∞，1]　(3){y|y≠0} 类型1　区间的应用 【例1】　把下列数集用区间表示： (1){x|x≥－1}；(2){x|x<0}； (3){x|－1<x<1}；(4) {x|－2<x≤2且x≠0}． [解]　(1){x|x≥－1}＝[－1，＋∞)． (2){x|x<0}＝(－∞，0)． (3){x|－1<x<1}＝(－1，1)． (4){x|－2<x≤2且x≠0}＝(－2，0)∪(0，2]． 　用区间表示数集的关键点 (1)区间左端点值小于右端点值． (2)区间两端点之间用“，”隔开． (3)含端点值的一端用中括号，不含端点值的一端用小括号． (4)以“－∞”“＋∞”为区间的一端时，这端必须用小括号． [跟进训练] 1．(1)集合{x|0<x<1或2≤x≤4}用区间表示为________． (2)已知区间(a2＋a＋1，7]，则实数a的取值范围是________． (1)(0，1)∪[2，4]　(2)(－3，2)　[(1){x|0<x<1或2≤x≤4}＝(0，1)∪[2，4]； (2)由题意可知a2＋a＋1<7，即a2＋a－6<0， 解得－3<a<2， 所以实数a的取值范围是(－3，2)．] 类型2　同一个函数的判断 【例2】　下列各组函数： ①f(x)＝，g(x)＝x－1； ②f(x)＝，g(x)＝； ③f(x)＝，g(x)＝； ④f(x)＝，g(x)＝x＋3； ⑤汽车匀速运动时，路程与时间的函数关系f(t)＝80t(0≤t≤5)与一次函数g(x)＝80x(0≤x≤5)． 其中表示同一个函数的是________．(填序号) ③⑤　[①不是同一个函数，定义域不同， f(x)定义域为{x|x≠0}，g(x)定义域为R． ②不是同一个函数，对应关系不同， f(x)＝，g(x)＝． ③是同一个函数，定义域、对应关系都相同．