(讲义)3.1.1 第1课时 函数的概念(一)-【提分教练】2023-2024学年新教材高中数学必修第一册(人教A版2019)

3.1　函数的概念及其表示 3.1.1　函数的概念 第1课时　函数的概念(一) 1．在初中用变量之间的依赖关系描述函数的基础上，用集合语言和对应关系刻画函数，建立完整的函数概念．(数学抽象) 2．体会集合语言和对应关系在刻画函数概念中的作用．(数学抽象) 3．了解构成函数的要素，能求简单函数的定义域．(数学运算) 国家统计局的课题组公布，如果将2005年中国创新指数记为100，近些年来中国创新指数的情况如下表所示． 年度 2012 2013 2014 2015 2016 2017 2018 2019 2020 中国 创新 指数 148.2 152.6 158.2 171.5 189.5 196.3 212.0 228.3 242.6 　　以y表示年度值，i表示中国创新指数的取值，则i是y的函数吗？如果是，这个函数用数学符号可以怎样表示？ 知识点　函数的概念 定义 一般地，设A，B是非空的实数集，如果对于集合A中的任意一个数x，按照某种确定的对应关系f，在集合B中都有唯一确定的数y和它对应，那么就称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数 三要素 对应关系 y＝f(x)，x∈A 定义域 自变量x的取值范围 值域 与x的值相对应的y的函数值的集合{f(x)|x∈A} 理解函数的概念抓住以下4点： (1)“y＝f(x)”是函数符号，可以用任意的字母表示，如“y＝g(x)” “y＝h(x)”都可以． (2)“A，B”是非空的数集，定义域为空集的函数是不存在的． (3)函数定义中强调 “三性”：任意性、存在性、唯一性． (4)定义域、值域的结果应该写成集合的形式． 1．在函数的定义中，符号y＝f(x)是表示f与x的乘积吗？ [提示]　y＝f(x)仅是函数的一个符号，不表示“y等于f与x的乘积”． 2．f(x)与f(a)的区别与联系是什么？ [提示]　f(a)表示当x＝a时函数f(x)的值，是一个常量，而f(x)是自变量x的函数，在一般情况下，它是一个变量．f(a)是f(x)的一个特殊值． 思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)根据函数的定义，定义域中的任意一个x可以对应着值域中不同的y． (　　) (2)任何两个集合之间都可以建立函数关系． (　　) (3)函数的定义域必须是数集，值域可以为其他集合． (　　) (4)在函数的定义中，集合B是函数的值域． (　　) [答案]　(1)×　(2)×　(3)×　(4)× 类型1　函数关系的判断 【例1】　(1)(2022·四川省德阳市第三中学月考)设集合 M＝，N＝，那么下面的 4 个图形中，能表示集合M到集合N的函数图象的个数为(　　) A．1 B．2 C．3 D．4 (2)(多选)下列对应关系是实数集R上的函数的是(　　) A．f：把x对应到3x＋1 B．g：把x对应到|x|＋1 C．h：把x对应到 D．r：把x对应到 (1)A　(2)AB　[(1)对图①，由图知： 0≤x≤1，不符合函数的定义域，故图①错误； 对图②，由图知： 0≤x≤2，0≤y≤2，图象符合函数的定义，故图②正确； 对图③，由图知： 0≤y≤3，不符合函数的值域，故图③错误；对图④，不符合函数定义，不是函数图象，故图④错误．故选A． (2)A，B满足题意，C中当x＝0时不满足，D中当x<0时不满足，故选AB．] 　判断一个对应关系是否为函数的方法 [跟进训练] 1．判断下列对应是不是从集合A到集合B的函数． (1)A＝N，B＝N*，对应法则f：对集合A中的元素取绝对值与B中元素对应； (2)A＝{－1，1，2，－2}，B＝{1，4}，对应法则f：x→y＝x2，x∈A，y∈B； (3)A＝{0，1}，B＝{－1，0，1}，f：A中的数开方； (4)A＝{三角形}，B＝{x|x>0}，对应法则f：对A中元素求面积与B中元素对应． [解]　(1)对于A中的元素0，在f的作用下得0，但0不属于B，即A中的元素0在B中没有元素与之对应，故不是函数． (2)对于A中的元素±1，在f的作用下与B中的1对应，A中的元素±2，在f的作用下与B中的4对应，所以满足A中的任一元素与B中唯一元素对应，是“多对一”的对应，故是函数． (3)对于集合A中的元素1，在集合B中有两个元素与之对应，因此不是函数关系． (4)集合A不是数集，故不是函数． 类型2　求函数值 【例2】　(源自湘教版教材)已知定义域为R的函数f(x)＝x＋1和g(x)＝x2，计算下列各式： (1)f(2)＋g(3)； (2)f(a2)－g(a)； (3)f(f(f(0)))． [解]　(1)f(2)＋g(3)＝(2＋1)＋32＝3＋9＝12． (2)f(a2)－g(a)＝(a