(讲义)2.3 第2课时 一元二次不等式的应用-【提分教练】2023-2024学年新教材高中数学必修第一册(人教A版2019)

第2课时　一元二次不等式的应用 1．掌握一元二次不等式的实际应用．(数学建模) 2．会解一元二次不等式中的恒成立问题．(数学运算、直观想象) 类型1　解简单的分式不等式 【例1】　解下列不等式： (1)<0； (2)≥0； (3)>1． [解]　(1)原不等式可化为(x＋1)(2x－1)<0， ∴－1<x<， 故原不等式的解集为． (2)原不等式可化为≤0， ∴ ∴ 即－<x≤1． 故原不等式的解集为． (3)原不等式可化为－1>0， ∴>0，即>0， 则x<－2． 故原不等式的解集为{x|x<－2}． 　简单的分式不等式的解法 [跟进训练] 1．解下列不等式： (1)≥0； (2)<3． [解]　(1)不等式≥0可转化成不等式组 解得x≤－1或x>3． 即原不等式的解集为{x|x≤－1或x>3}． (2)不等式<3可改写为－3<0， 即<0． 可将这个不等式转化成2(x－1)(x＋1)<0， 解得－1<x<1． 所以原不等式的解集为{x|－1<x<1}． 类型2　不等式的恒成立问题 【例2】　若关于x的不等式(m2－2m－3)x2－(m－3)x－1<0对任意x∈R恒成立，求实数m的取值范围． 思路导引： [解]　当m2－2m－3＝0时，m＝3或m＝－1． ①若m＝3，不等式可化为－1<0，显然对于x∈R恒成立，满足题意． ②若m＝－1，不等式可化为4x－1<0，显然不满足题意． 当m2－2m－3≠0时，由题目条件，知 得 即－<m<3． 综上所述，实数m的取值范围是． 　不等式恒成立的情况 (1)一元二次不等式ax2＋bx＋c>0，对任意实数x∈R恒成立的条件是 (2)一元二次不等式ax2＋bx＋c≥0，对任意实数x∈R恒成立的条件是 (3)一元二次不等式ax2＋bx＋c<0，对任意实数x∈R恒成立的条件是 (4)一元二次不等式ax2＋bx＋c≤0，对任意实数x∈R恒成立的条件是 提醒：当不等式ax2＋bx＋c>0未说明为一元二次不等式时，对任意实数x∈R恒成立时满足的条件为 [跟进训练] 2．已知关于x的不等式(m2＋4m－5)x2－4(m－1)x＋3>0对一切实数x恒成立，求实数m的取值范围． [解]　①当m2＋4m－5＝0，即m＝1或m＝－5时，显然m＝1符合条件，m＝－5不符合条件； ②当m2＋4m－5≠0时，由二次函数对一切实数x恒成立，得 解得1<m<19．综合①②得，实数m的取值范围为{m|1≤m<19}． 类型3　一元二次不等式的实际应用 【例3】　(源自北师大版教材)为鼓励大学毕业生自主创业，某市出台了相关政策．由政策协调，本市企业按成本价提供产品给大学毕业生自主销售，成本价与出厂价之间的差价由政府承担．大学毕业生袁阳按照相关政策投资销售本市生产的一种新型节能灯，已知这种节能灯的成本价为每件10元，出厂价为每件12元，每月的销售量y(单位：件)与销售单价x(单位：元)之间的关系近似满足一次函数：y＝－10x＋500． (1)设袁阳每月获得的利润为w(单位：元)，写出每月获得的利润w与销售单价x的函数关系； (2)物价部门规定，这种节能灯的销售单价不得高于25元．如果袁阳想要每月获得的利润不小于3 000元，那么政府每个月为他承担的总差价的取值范围是多少？ [解]　(1)依题意可知每件的销售利润为(x－10)元，每月的销售量为(－10x＋500)件，所以每月获得的利润w与销售单价x的函数关系为w＝(x－10)(－10x＋500)(10≤x≤50)． (2)由每月获得的利润不小于3 000元，得 (x－10)(－10x＋500)≥3 000． 化简，得x2－60x＋800≤0． 解得20≤x≤40． 又因为这种节能灯的销售单价不得高于25元，所以20≤x≤25． 设政府每个月为他承担的总差价为p元，则p＝(12－10)(－10x＋500)＝－20x＋1 000． 由20≤x≤25，得500≤－20x＋1 000≤600． 故政府每个月为他承担的总差价的取值范围为{p|500≤p≤600}． 　利用不等式解决实际问题的一般步骤 (1)选取合适的字母表示题中的未知数． (2)由题中给出的不等关系，列出关于未知数的不等式(组)． (3)求解所列出的不等式(组)． (4)结合题目的实际意义确定答案． [跟进训练] 3．某汽车厂上年度生产汽车的投入成本为10万元/辆，出厂价为12万元/辆，年销售量为10 000辆．本年度为适应市场需求，计划提高产品质量，适度增加投入成本．若每辆车投入成本增加的比例为x(0<x<1)，则出厂价相应地提高比例为0.75x，同时预计年销售量增加的比例为0.6x，已知年利润＝(出厂价－投入成本)×年销售量． (1)写出本年度预计的年利润y与投入成本增加的比例x的关系式； (2)为