(讲义)2.3 第1课时 一元二次不等式的解法-【提分教练】2023-2024学年新教材高中数学必修第一册(人教A版2019)

2.3　二次函数与一元二次方程、不等式 第1课时　一元二次不等式的解法 1．经历从实际情境中抽象出一元二次不等式的过程，了解一元二次不等式的现实意义．(数学抽象) 2．能借助一元二次函数求解一元二次不等式，并能用集合表示一元二次不等式的解集．(数学运算) 3．借助一元二次函数的图象，了解一元二次不等式与相应函数、方程的联系．(直观想象) 已知一元二次函数y＝x2－4x，一元二次方程x2－4x＝0，一元二次不等式x2－4x>0． 问题：(1)试写出一元二次函数的图象与x轴的交点坐标． (2)一元二次方程的根是什么？ (3)问题(1)中的交点横坐标与问题(2)中的根有何内在联系？ (4)观察二次函数图象，当x满足什么条件时，图象在x轴的上方？ (5)能否利用问题(4)得出不等式x2－4x>0，x2－4x<0的解集？ 知识点1　一元二次不等式的概念 定义 只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的不等式，称为一元二次不等式 一般形式 ax2＋bx＋c>0或ax2＋bx＋c<0，其中a≠0，a，b，c均为常数 知识点2　二次函数的零点 一般地，对于二次函数y＝ax2＋bx＋c，我们把使ax2＋bx＋c＝0的实数x叫做二次函数y＝ax2＋bx＋c的零点． 二次函数y＝ax2＋bx＋c的零点就是图象与x轴的交点吗？ [提示]　不是．是图象与x轴交点的横坐标． 知识点3　从函数观点看一元二次不等式 Δ>0 Δ＝0 Δ<0 二次函数y＝ax2＋bx＋c(a>0)的图象 一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a>0)的根 有两个不相等的实数根x1，x2(x1<x2) 有两个相等的实数根x1＝x2＝－ 没有实数根　 ax2＋bx＋c>0(a>0)的解集 {x|x<x1或x>x2} R ax2＋bx＋c<0(a>0)的解集 {x|x1<x<x2} ∅ ∅ 一元二次不等式的解集的端点就是对应的一元二次方程的根． 1．思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)不等式ax2＋x－1<0是一元二次不等式． (　　) (2)不等式x2－5y<0是一元二次不等式． (　　) [答案]　(1)×　(2)× 2．二次函数y＝x2－5x的图象如图所示． (1)若y>0，则x满足的条件是________； (2)若y≤0，则x满足的条件是________． [答案]　(1)x<0或x>5　(2)0≤x≤5 3．不等式x2＋3x＋6<0的解集为________． ∅　[∵Δ＝9－4×6＝－15<0， ∴不等式x2＋3x＋6<0的解集为∅．] 类型1　一元二次不等式的求解 【例1】　(源自苏教版教材)解下列不等式： (1)x2－7x＋12>0； (2)－x2－2x＋3≥0； (3)x2－2x＋1<0； (4)x2－2x＋2>0． [解]　(1)方程x2－7x＋12＝0的解为x1＝3，x2＝4． 根据y＝x2－7x＋12的图象(图(1))，可得原不等式的解集为{x|x<3或x>4}． (2)不等式两边同乘以－1，得x2＋2x－3≤0． 方程x2＋2x－3＝0的解为x1＝－3，x2＝1． 根据y＝x2＋2x－3的图象(图(2))，可得原不等式的解集为{x|－3≤x≤1}． (1)　　　　(2)　　　　(3)　　　　(4) (3)方程x2－2x＋1＝0有两个相同的解x1＝x2＝1． 根据y＝x2－2x＋1的图象(图(3))，可得原不等式的解集为∅． (4)因为Δ<0，所以方程x2－2x＋2＝0无实数解． 根据y＝x2－2x＋2的图象(图(4))，可得原不等式的解集为R． 　解不含参数的一元二次不等式的一般步骤 (1)化标准．通过对不等式的变形，使不等式右侧为0，使二次项系数为正． (2)判别式．对不等式左侧因式分解，若不易分解，则计算对应方程的判别式． (3)求实根．求出相应的一元二次方程的根或根据判别式说明方程有无实根． (4)画草图．根据一元二次方程根的情况画出对应的二次函数的草图． (5)写解集．根据图象写出不等式的解集． [跟进训练] 1．解下列不等式： (1)4x2－20x<－25； (2)(x－3)(x－7)<0； (3)－3x2＋5x－4<0； (4)x(1－x)≥x(2x－3)＋1． [解]　(1)不等式可化为4x2－20x＋25<0，由于Δ＝0，且对应的二次函数的图象是开口向上的抛物线，所以不等式的解集是∅． (2)由题意知不等式对应方程的两个根是3和7，且对应的二次函数的图象是开口向上的抛物线，故不等式的解集是{x|3<x<7}． (3)不等式－3x2＋5x－4<0可化为3x2－5x＋4>0，由于判别式Δ＝25－48＝－23<0，函数y＝3x2－5x＋4的图象开口向上，所以不等式的解集是R