(讲义)2.2 第2课时 基本不等式的应用-【提分教练】2023-2024学年新教材高中数学必修第一册(人教A版2019)

第2课时　基本不等式的应用 1．熟练掌握利用基本不等式求函数的最值问题．(数学运算) 2．会用基本不等式求解实际应用题．(数学建模) 某金店有一座天平，由于左右两臂长略有不等，所以直接称重不准确．有一个顾客要买一串金项链，店主分别把项链放于左右两盘各称一次，得到两个不同的质量a和b，然后就把两次称得的质量的算术平均数作为项链的质量来计算．顾客对这个数据的准确性提出了质疑，那么这样计算的质量相对于原来的真实质量到底是大了还是小了呢？ 知识点　用基本不等式求最值 已知x，y都是正数， (1)若x＋y＝S(和为定值)，则当x＝y时，积xy取得最大值． (2)若xy＝P(积为定值)，则当x＝y时，和x＋y取得最小值2． 上述命题可归纳为口诀：积定和最小，和定积最大． 在应用基本不等式求最值时，要把握基本不等式成立的三个条件：一正、二定、三相等，这三个条件缺一不可． 两个正数的积为定值，一定可以用基本不等式求它们的和的最小值吗？ [提示]　不一定．如y＝x＋(x>1)，若用基本不等式求最小值，则需要满足条件：x＝，即x＝1，但此式不成立，所以不能用基本不等式求最小值． 1．若x>0，则y＝x＋的最小值为________． 4　[∵x>0， ∴y＝x＋≥2＝4， 当且仅当x＝时等号成立．] 2．已知0<x<1，则函数y＝x(1－x)的最大值为______． 　[∵0<x<1，∴0<1－x<1， ∴x(1－x)≤＝， 当且仅当x＝1－x，即x＝时等号成立．] 类型1　利用基本不等式求最值 【例1】　(1)已知x<，求y＝4x－2＋的最大值； (2)已知0<x<，求y＝x(1－3x)的最大值． [解]　(1)∵x<，∴5－4x>0， ∴y＝4x－2＋＝－＋3≤－2＋3＝1， 当且仅当5－4x＝，即x＝1时，上式等号成立， 故当x＝1时，ymax＝1． (2)法一：∵0<x<，∴1－3x>0． ∴y＝x(1－3x)＝×3x(1－3x) ≤＝， 当且仅当3x＝1－3x，即x＝时，等号成立． ∴当x＝时，y＝x(1－3x)取得最大值． 法二：∵0<x<，∴－x>0． ∴y＝x(1－3x)＝3·x≤3· ＝， 当且仅当x＝－x，即x＝时，等号成立． ∴当x＝时，y＝x(1－3x)取得最大值． 　通过拼凑法利用基本不等式求最值的策略 拼凑法的实质在于代数式的灵活变形，拼系数、凑常数是关键，利用拼凑法求解最值应注意以下几个方面的问题： (1)拼凑的技巧，以整式为基础，注意利用系数的变化以及等式中常数的调整，做到等价变形． (2)代数式的变形以拼凑出和或积的定值为目标． (3)拆项、添项应注意检验利用基本不等式的前提． 提醒：注意应用“拆”“拼”“凑”等技巧的目的是使其满足基本不等式中“正”“定”“等”的条件． [跟进训练] 1．(1)已知x>0，求y＝的最小值； (2)(源于湘教版教材) 求函数y＝(0<x<1)的最大值． [解]　(1)∵y＝＝x＋＋5 ≥2＋5＝9， 当且仅当x＝，即x＝2时等号成立． 故y＝(x>0)的最小值为9． (2)因为0<x<1，所以x>0，1－x>0， 所以＝， 当且仅当x＝1－x，即x＝时等号成立． 故函数y＝(0<x<1)的最大值为． 类型2　利用基本不等式求条件最值 【例2】　已知x＞0，y＞0，且满足＝1．求x＋2y的最小值． [解]　∵x＞0，y＞0，＝1， ∴x＋2y＝(x＋2y)＝10＋ ≥10＋2＝18， 当且仅当 即时，等号成立， 故当x＝12，y＝3时，(x＋2y)min＝18． [母题探究] 若把“＝1”改为“x＋2y＝1”，其他条件不变，求的最小值． [解]　∵x>0，y>0， ∴＝(x＋2y) ＝8＋＋2＝10＋≥10＋2＝18， 当且仅当＝时取等号， 结合x＋2y＝1，得x＝，y＝， ∴当x＝，y＝时，取到最小值18． 　常数代换法求最值的方法步骤 常数代换法适用于求解条件最值问题．应用此种方法求解最值的基本步骤为： (1)根据已知条件或其变形确定定值(常数)． (2)把确定的定值(常数)变形为1． (3)把“1”的表达式与所求最值的表达式相乘或相除，进而构造和或积的形式． (4)利用基本不等式求解最值． 提醒：常值代换法适用于变量x，y是正实数，整式ax＋by与分式一个值已知求另外一个的最(大)小值问题． [跟进训练] 2．已知a＞0，b＞0，a＋2b＝1，求的最小值． [解]　∵a＞0，b＞0，且a＋2b＝1． ∴＝·1 ＝·(a＋2b) ＝1＋＋2＝3＋≥3＋2 ＝3＋2， 当且仅当时等号成立． ∴的最小值为3＋2． 类型3　利用基本不等式解决实际问题 【例3】　(源自北师大版教材)如图，动物园要围成4间相同面积的长方形禽舍，一面可利用原有的墙，其他各面用钢筋网围成．(接头处不计