(讲义)2.2 第1课时 基本不等式-【提分教练】2023-2024学年新教材高中数学必修第一册(人教A版2019)

2.2　基本不等式 第1课时　基本不等式 1．了解基本不等式的证明过程．(数学运算) 2．能利用基本不等式证明简单的不等式及比较代数式的大小．(逻辑推理) 填写下表： a b 与的大小关系 1 4 16 2 2 … … 问题：(1)观察的大小关系，从中你得出了什么结论？ (2)你能给出它的证明吗？ 知识点　基本不等式 (1)基本不等式：如果a>0，b>0，那么，当且仅当a＝b时，等号成立． 其中，叫做正数a，b的算术平均数，叫做正数a，b的几何平均数． (2)变形：①ab≤，a，b∈R，当且仅当a＝b时，等号成立． ②a＋b≥2，a，b都是正数，当且仅当a＝b时，等号成立． 不等式a2＋b2≥2ab与不等式等号成立的条件一样吗？ [提示]　不一样，前者为a＝b，后者为a＝b>0． 思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)对任意a，b∈R，a2＋b2≥2ab，a＋b≥2均成立． (　　) (2)若a≠0，则a＋≥2＝2． (　　) (3)若a>0，b>0，则ab≤． (　　) [答案]　(1)×　(2)×　(3)√ 类型1　对基本不等式的理解 【例1】　(多选)下面四个推导过程正确的是(　　) A．若a，b为正实数，则≥2＝2 B．若a∈R，a≠0，则＋a≥2＝4 C．若x，y∈R，xy<0，则＝－≤－2＝－2 D．若a<0，b<0，则≤ab AC　[∵a，b为正实数， ∴为正实数，符合基本不等式的条件，故A的推导正确； ∵a∈R，a≠0，不符合基本不等式的条件， ∴＋a≥2＝4是错误的，故B错误； 由xy＜0，得均为负数，但在推导过程中将整体提出负号后，均变为正数，符合基本不等式的条件，故C正确；D错误，因为a2＋b2≥2ab，当且仅当a＝b时等号成立．故选AC．] 　对基本不等式的准确掌握要抓住2个方面 (1)定理成立的条件是a，b都是正实数． (2)“当且仅当”的含义：当a＝b时，的等号成立，即a＝b⇒＝；仅当a＝b时，的等号成立，即＝⇒a＝b． [跟进训练] 1．下列不等式的推导过程正确的是________．(填序号) ①若x＞1，则x＋≥2＝2． ②若x＜0，则x＋＝－ ≤－2＝－4． ③若a，b∈R，则≥2＝2． ②　[ ①中忽视了基本不等式等号成立的条件，当x＝，即x＝1时，x＋≥2等号成立，因为x＞1，所以x＋＞2，③中忽视了利用基本不等式时每一项必须为正数这一条件．] 类型2　利用基本不等式比较大小 【例2】　(1)如果0＜a＜b＜1，P＝，Q＝，M＝，那么P，Q，M的大小顺序是(　　) A．P＞Q＞M B．M＞P＞Q C．Q＞M＞P D．M＞Q＞P (2)已知a，b，c是两两不等的实数，则p＝a2＋b2＋c2与q＝ab＋bc＋ca的大小关系是________． (1)B　(2)p>q　[(1)法一：显然＞，又＝＜0，所以＞，所以＞＞．故M＞P＞Q． 法二：取a＝，b＝，易知M>P>Q，故选B． (2)∵a，b，c互不相等， ∴a2＋b2＞2ab，b2＋c2>2bc，a2＋c2>2ac． ∴2(a2＋b2＋c2)>2(ab＋bc＋ac)． 即a2＋b2＋c2>ab＋bc＋ac． 即p>q．] 　运用基本不等式比较大小时应注意成立的条件，即a＋b≥2成立的条件是a>0，b>0，等号成立的条件是a＝b；a2＋b2≥2ab成立的条件是a，b∈R，等号成立的条件是a＝b． [跟进训练] 2．若0<a<1，0<b<1，且a≠b，则a＋b，2，2ab，a2＋b2中最大的是(　　) A．a2＋b2 B．2 C．2ab D．a＋b D　[法一：∵0<a<1，0<b<1，且a≠b，∴a2＋b2>2ab，a＋b>2，a>a2，b>b2，∴a＋b>a2＋b2，故选D． 法二：(特殊值法)取a＝，b＝，则a2＋b2＝，2＝，2ab＝，a＋b＝，显然最大，故选D．] 类型3　利用基本不等式证明不等式 【例3】　已知a，b，c是互不相等的正数，且a＋b＋c＝1，求证：>9． 思路导引：先把“”中的“1”替换成a＋b＋c，然后利用基本不等式证明>9． [证明]　∵a，b，c是正数，且a＋b＋c＝1， ∴＝ ＝3＋ ＝3＋ ≥3＋2＋2＋2 ＝3＋2＋2＋2 ＝9， 当且仅当a＝b＝c时取等号，而a，b，c互不相等， ∴>9． [母题探究] 本例条件不变，求证：>8． [证明]　∵a，b，c是互不相等的正数， 且a＋b＋c＝1， ∴－1＝>0， －1＝>0， －1＝>0， ∴ ＝ ≥＝8， 当且仅当a＝b＝c时取等号， ∴＞8． 　利用基本不等式证明不等式的策略与注意事项 (1)策略：从已证