(讲义)2.1 第2课时 等式性质与不等式性质-【提分教练】2023-2024学年新教材高中数学必修第一册(人教A版2019)

第2课时　等式性质与不等式性质 1．掌握等式和不等式的基本性质．(数学抽象) 2．运用不等式的性质解决有关问题．(数学运算) 楼房的采光率有一种简单的计算方法：设楼房的建筑面积为a，窗口面积为b，则楼房的采光率为(其中a>b>0)． 问题：显而易见，如果增加窗口面积，楼房的采光将变好，那么如何用不等式来表示这个事实呢？(不妨设增加窗口面积为m，其中m>0) 知识点　不等式的基本性质 (1)对称性：a＞b⇔b＜a． (2)传递性：a＞b，b＞c⇒a＞c． (3)可加性：a＞b⇔a＋c＞b＋c． (4)可乘性：a＞b，c＞0⇒ac＞bc；a＞b，c＜0⇒ac＜bc． (5)加法法则：a＞b，c＞d⇒a＋c＞b＋d． (6)乘法法则：a＞b＞0，c＞d＞0⇒ac＞bd． (7)乘方法则：a＞b＞0⇒an＞bn＞0(n∈N，n≥2)． 应用不等式应注意： (1)一定要搞清不等式成立的前提条件； (2)要注意每条性质是否具有可逆性． 1．思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”) (1) 如果a>b，c>d，那么a－c>b－d． (　　) (2)如果a>b，c>d，那么ac>bd． (　　) (3)当x>－3时，一定有<－． (　　) (4)设a，b∈R，且a>b，则a3>b3． (　　) [答案]　(1)×　(2)×　(3)×　(4)√ 2．设x>1，－1<y<0，试将x，y，－y按从大到小的顺序排列如下：________． x>－y>y　[∵－1<y<0，∴0<－y<1， ∴x>－y>y．] 类型1　利用不等式性质判断命题真假 【例1】　对于实数a，b，c，下列命题中为真命题的是(　　) A．若a＞b，则ac2＞bc2 B．若a＞b＞0，则＞ C．若a＜b＜0，则＞ D．若a＞b，＞，则a＞0，b＜0 D　[法一：∵c2≥0，∴c＝0时， 有ac2＝bc2，故A为假命题； 由a＞b＞0，有ab＞0⇒＞⇒＞， 故B为假命题； ⇒＞， 故C为假命题； ⇒ab＜0． ∵a＞b，∴a＞0且b＜0，故D为真命题． 法二：特殊值排除法． 取c＝0，则ac2＝bc2，故A错误． 取a＝2，b＝1，则＝＝1，有＜，故B错误． 取a＝－2，b＝－1， 则＝＝2，有＜，故C错误．] 　利用不等式判断正误的两种方法 (1)直接法．对于说法正确的，要利用不等式的相关性质证明；对于说法错误的只需举出一个反例即可． (2)特殊值法．注意取值一定要遵循三个原则：一是满足题设条件；二是取值要简单，便于验证计算；三是所取的值要有代表性． [跟进训练] 1．(多选)若<<0，则下面四个不等式成立的有(　　) A．|a|>|b| B．b<a C．a＋b<ab D．a2<b2 BCD　[∵<<0， ∴b<a<0． ∴|b|>|a|，a＋b<ab，a2<b2． 故选BCD．] 类型2　利用不等式性质证明简单不等式 【例2】　若a＞b＞0，c＜d＜0，e＜0，求证：＞． [证明]　∵c＜d＜0，∴－c＞－d＞0． 又∵a＞b＞0，∴a－c＞b－d＞0． ∴(a－c)2＞(b－d)2＞0． 两边同乘以， 得＜． 又e＜0，∴＞． [母题探究] 本例条件不变的情况下，求证：＞． [证明]　∵c＜d＜0，∴－c＞－d＞0． ∵a＞b＞0， ∴a－c＞b－d＞0， ∴0＜＜， 又∵e＜0，∴＞． 　利用不等式的性质证明不等式的注意事项 (1)利用不等式的性质及其推论可以证明一些不等式．解决此类问题一定要在理解的基础上记准、记熟不等式的性质并注意在解题中灵活准确地加以应用． (2)应用不等式的性质进行推导时，应注意紧扣不等式性质成立的条件，且不可省略条件或跳步推导，更不能随意构造性质与法则． [跟进训练] 2．已知a>b，e>f，c>0，求证：f－ac<e－bc． [证明]　∵a>b，c>0， ∴ac>bc． 又∵e>f， ∴e＋ac>f＋bc， 即f－ac<e－bc． 类型3　不等式性质的应用 【例3】　已知1＜a＜4，2＜b＜8，试求a－b与的取值范围． 思路导引：2<b<8求－b的范围求a－b的范围． [解]　因为1＜a＜4，2＜b＜8， 所以－8＜－b＜－2． 所以1－8＜a－b＜4－2， 即－7＜a－b＜2． 又因为＜＜， 所以＜＜， 即＜＜2． 　利用不等式的性质求取值范围的策略 (1)建立待求范围的整体与已知范围的整体的关系，最后利用一次不等式的性质进行运算，求得待求的范围． (2)同向(异向)不等式的两边可以相加(相减)，这种转化不是等价变形，如果在解题过程中多次使用这种转化，就有可能扩大其取值范围． 提醒：求解这种不等式问题要特别注意不能简单地先分别求出单个变量的范围，再去求其他不等式的范围． [跟进训练] 3．已知－2<a≤3，1≤b<2，