(讲义)2.1 第1课时 不等关系与不等式-【提分教练】2023-2024学年新教材高中数学必修第一册(人教A版2019)

2.1　等式性质与不等式性质 第1课时　不等关系与不等式 1．会用不等式(组)表示实际问题中的不等关系．(数学建模) 2．会用比较法比较两实数的大小．(逻辑推理) 你见过图中的高速公路指示牌吗？左边的指示牌是指对应的车道只能供小客车行驶，而且小客车的速率v1(单位：km/h，下同)应该满足100≤v1≤120；右边的指示牌是指对应的车道可供客车和货车行驶，而且车的速率v2应该满足60≤v2≤100． 知识点1　基本事实 文字表示 符号表示 如果a－b是正数，那么a＞b a－b＞0⇔a＞b 如果a－b等于0，那么a＝b a－b＝0⇔a＝b 如果a－b是负数，那么a＜b a－b＜0⇔a＜b 从上述基本事实可知，要比较两个实数的大小，可以转化为比较它们的差与0的大小． 知识点2　重要不等式 一般地，∀a，b∈R，有a2＋b2≥2ab，当且仅当a＝b时，等号成立． 1．(多选)下面列出的不等式中，正确的是(　　) A．若a不是负数，则a≥0 B．若x不大于3，则x<3 C．若m与4的差是负数，则m－4<0 D．若x与2的和是非负数，则x＋2>0 AC　[x不大于3可表示成x≤3; x与2的和是非负数，可表示成x＋2≥0．] 2．不等式a2＋1≥2a中等号成立的条件是________． [答案]　a＝1 类型1　用不等式(组)表示不等关系 【例1】　(1)某同学拿50元钱买纪念邮票，票面8角的每套5张，票面2元的每套4张，如果每种邮票至少买两套，那么买票面8角的x套与票面2元的y套用不等式表示为(　　) A． B． C． D．0.8×5x＋2×4y≤50 (2)京沪线上，复兴号列车跑出了350 km/h的速度，这个速度的2倍再加上100 km/h也不超过民航飞机的最低时速，可这个速度已经超过了普通客车的3倍，请用不等式表示三种交通工具的速度关系． (1)A　[买票面8角的x套，而票面8角的每套5张，则价格为(0.8×5x)元． 买票面2元的y套，而票面2元的每套4张，则价格为(2×4y)元． ∵某同学拿50元钱买纪念邮票， ∴0.8×5x＋2×4y≤50． 又知，每种邮票至少买两套，故x≥2，y≥2且x∈N＋，y∈N＋， 综上，有不等式组 故选A．] (2)[解]　设复兴号列车的速度为v1， 民航飞机的速度为v2， 普通客车的速度为v3． v1，v2的关系：2v1＋100≤v2， v1，v3的关系：v1＞3v3． 　利用不等式(组)表示不等关系的注意点 (1)在用不等式(组)表示不等关系时，要进行比较的各量必须具有相同性质，没有可比性的两个(或几个)量之间不可以用不等式(组)来表示． (2)在用不等式(组)表示实际问题时，一定要注意单位的统一． [跟进训练] 1．用一段长为30 m的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园，墙长18 m，要求菜园的面积不小于216 m2，靠墙的一边长为x m．试用不等式表示其中的不等关系． [解]　由于矩形菜园靠墙的一边长为x m，而墙长为18 m，所以0<x≤18， 这时菜园的另一条边长为＝(m)． 因此菜园面积S＝x·， 依题意有S≥216，即x≥216， 故该题中的不等关系可用不等式组表示为 类型2　比较两数(式)的大小 【例2】　已知x≤1，比较3x3与3x2－x＋1的大小． [解]　3x3－(3x2－x＋1)＝(3x3－3x2)＋(x－1) ＝3x2(x－1)＋(x－1)＝(3x2＋1)(x－1)． 由x≤1得x－1≤0，而3x2＋1＞0， ∴(3x2＋1)(x－1)≤0， ∴3x3≤3x2－x＋1． [母题探究] 把本例中“x≤1”改为“x∈R”，再比较3x3与3x2－x＋1的大小． [解]　3x3－(3x2－x＋1)＝(3x3－3x2)＋(x－1) ＝(3x2＋1)(x－1)． ∵3x2＋1＞0， 当x＞1时，x－1＞0，∴3x3＞3x2－x＋1； 当x＝1时，x－1＝0，∴3x3＝3x2－x＋1； 当x＜1时，x－1＜0，∴3x3＜3x2－x＋1． 　比较两个代数式大小的步骤 (1)作差：对要比较大小的两个代数式作差． (2)变形：对差进行变形． (3)判断差的符号：结合变形的结果及题设条件判断差的符号． (4)作出结论． 这种比较大小的方法称为作差法．其思维过程是作差→变形→判断差的符号→作出结论． 变形的方法：①因式分解．②配方．③通分．④分母或分子有理化． [跟进训练] 2．比较2x2＋5x＋3与x2＋4x＋2的大小． [解]　(2x2＋5x＋3)－(x2＋4x＋2)＝x2＋x＋1 ＝＋． ∵≥0，∴＋＞0． ∴(2x2＋5x＋3)－(x2＋4x＋2)＞0， ∴2x2＋5x＋3＞x2＋4x＋2． 类型3　不等关系的实际应用 【例3】　某单位组织职工包车前往某地参观学