(讲义)1.5.2 全称量词命题和存在量词命题的否定-【提分教练】2023-2024学年新教材高中数学必修第一册(人教A版2019)

1.5.2　全称量词命题和存在量词命题的否定 1．通过实例总结含有一个量词的命题与它们的否定在形式上的变化规律．(数学抽象) 2．能正确地对含有一个量词的命题进行否定．(逻辑推理) “否定”是我们日常生活中经常使用的一个词．有这样一段话：“培养一流创新人才，敢于否定的精神非常重要．一旦下定决心进行研究，首先就要敢于否定别人的成果，并想一想：前人的成果有哪些是不对的，有什么方面可以改善，有什么地方可以加强．” 结合上述这段话，谈谈你对“否定”一词的认识，并由此猜想“命题的否定”是什么意思． 知识点　含有一个量词的命题的否定 p ﹁p 结论 全称量词命题∀x∈M，p(x) ∃x∈M，﹁p(x) 全称量词命题的否定是存在量词命题 存在量词命题∃x∈M，p(x) ∀x∈M，﹁p(x) 存在量词命题的否定是全称量词命题 对全称量词命题、存在量词命题进行否定时，注意八个字“改变量词，否定结论”． 1．思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)全称量词命题的否定形式是唯一的． (　　) (2)命题﹁p的否定是p． (　　) (3)∃x∈M，p(x)与∀x∈M，﹁p(x)的真假性相反． (　　) [答案]　(1)×　(2)√　(3)√ 2．已知命题p：∀x>0，总有x＋1>1，则﹁p为________． [答案]　∃x>0，使得x＋1≤1 类型1　全称量词命题的否定 【例1】　写出下列命题的否定． (1)所有分数都是有理数； (2)所有被5整除的整数都是奇数； (3)∀x∈R，x2－2x＋1≥0. [解]　(1)该命题的否定：存在一个分数不是有理数． (2)该命题的否定：存在一个被5整除的整数不是奇数． (3)∃x∈R，x2－2x＋1<0. 　对全称量词命题否定的两个步骤 [跟进训练] 1．写出下列全称量词命题的否定： (1)任何一个平行四边形的对边都平行； (2)任何一个圆都是轴对称图形； (3)∀a，b∈R，方程ax＝b都有唯一解． [解]　(1)命题的否定：存在一个平行四边形，它的对边不都平行． (2)命题的否定：存在一个圆不是轴对称图形． (3)命题的否定：∃a，b∈R，使方程ax＝b的解不唯一或不存在． 类型2　存在量词命题的否定 【例2】　写出下列存在量词命题的否定，并判断其否定的真假： (1)有的素数是偶数； (2)∃a，b∈R，a2＋b2≤0. [解]　(1)命题的否定：所有的素数都不是偶数． 由于2是素数也是偶数，因此命题的否定为假命题． (2)命题的否定：∀a，b∈R，a2＋b2>0. ∵当a＝b＝0时，a2＋b2＝0， ∴命题的否定是假命题． 　对存在量词命题否定的两个步骤 [跟进训练] 2．(源自人教B版教材)写出下列命题的否定，并判断所得命题的真假： (1)p：∀x∈R，x2≥－1； (2)q：∀x∈{1，2，3，4，5}，<x； (3)s：至少有一个直角三角形不是等腰三角形． [解]　(1)﹁p：∃x∈R，x2<－1，由p是真命题可知﹁p是假命题． (2)﹁q：∃x∈{1，2，3，4，5}，≥x.将集合中的元素逐个验证，当x＝1时不等式成立，因此﹁q是真命题． (3)﹁s：所有直角三角形都是等腰三角形．因为有一个内角为30°的直角三角形不是等腰三角形，所以﹁s 是假命题． 类型3　全称量词命题与存在量词命题的综合应用 【例3】　对于任意实数x，函数y＝x2＋4x－1的函数值恒大于实数m，求m的取值范围． 思路导引：函数值恒大于实数m二次函数y＝x2＋4x－1的最小值恒大于实数m. [解]　由题意可知，对∀x∈R，不等式x2＋4x－1>m恒成立． 因为y＝x2＋4x－1＝(x＋2)2－5≥－5， 所以只要m<－5即可． 所以所求m的取值范围是{m|m<－5}． [母题探究] 把本例中的条件变为：“存在实数x，使不等式－x2＋4x－1>m有解”，求实数m的取值范围． [解]　令y＝－x2＋4x－1， 因为y＝－x2＋4x－1＝－(x－2)2＋3≤3， 又因为∃x∈R，－x2＋4x－1>m有解， 所以只要m小于函数的最大值即可， 所以所求m的取值范围是{m|m<3}． 　求解含有量词的命题中参数范围的策略 (1)对于全称量词命题“∀x∈M，a＞y(或a＜y)”为真的问题，实质就是不等式恒成立问题，通常转化为求函数y的最大值(或最小值)，即a＞y最大值(或a＜y最小值)． (2)对于存在量词命题“∃x∈M，a＞y(或a＜y)”为真的问题，实质就是不等式能成立问题，通常转化为求函数y的最小值(或最大值)，即a＞y最小值(或a＜y最大值)． [跟进训练] 3．若命题“∀x∈R，x2－4x＋a≠0”为假命题，则实数a的取值范围是________． {a|a≤4}　[∵命题∀x∈R，x2－4x