(讲义)1.5.1 全称量词与存在量词-【提分教练】2023-2024学年新教材高中数学必修第一册(人教A版2019)

1.5　全称量词与存在量词 1.5.1　全称量词与存在量词 1．理解全称量词、 全称量词命题的定义．(数学抽象) 2．理解存在量词、 存在量词命题的定义．(数学抽象) 3．会判断一个命题是全称量词命题还是存在量词命题， 并会判断它们的真假．(逻辑推理) 学校为了迎接秋季田径运动会，正在排练由1 000 名学生参加的开幕式团体操表演．这1 000名学生符合下列条件： (1)所有学生都来自高二年级； (2)至少有30名学生来自高二(一)班； (3)每一个学生都有固定表演路线. 上述条件中包含以下短语：“所有”“至少有”和“每一个”，这些短语在逻辑上称为什么？含有这些短语的命题称作什么命题？ 知识点1　全称量词与全称量词命题 (1)短语“所有的”“任意一个”在逻辑中通常叫做全称量词，并用符号“∀”表示． (2)含有全称量词的命题，叫做全称量词命题，通常将含有变量x的语句用p(x)，q(x)，r(x)，…表示．变量x的取值范围用M表示．那么全称量词命题“对M中任意一个x，p(x)成立”可用符号简记为∀x∈M，p(x)． 有些全称量词命题中的全称量词是省略的，理解时需把它补充出来．例如：命题“平行四边形的对角线互相平分”应理解为“所有的平行四边形的对角线都互相平分”． 知识点2　存在量词与存在量词命题 (1)短语“存在一个”“至少有一个”在逻辑中通常叫做存在量词，并用符号“∃”表示． (2)含有存在量词的命题，叫做存在量词命题，存在量词命题“存在M中的元素x，p(x)成立”，可用符号简记为∃x∈M，p(x)． 1．下列命题中是全称量词命题的有________．(填序号) ①任意一个偶数都能被2整除； ②有的矩形是正方形； ③三角形的内角和是180°. [答案]　①③ 2．“任意一个实数的平方都大于等于0”用符号“∀”可表示为________． ∀x∈R，x2≥0　[命题“任意一个实数的平方都大于等于0”，用“∀”符号可以表示为∀x∈R，x2≥0.] 3．命题“有些长方形是正方形”含有的量词是________，该量词是________．(填“全称量词”或“存在量词”) [答案]　有些　存在量词 类型1　全称量词命题与存在量词命题的识别 【例1】　判断下列命题是全称量词命题，还是存在量词命题，并用量词符号“∀”或“∃”表述下列命题． (1)对任意x∈{x|x>－1}，3x＋4>0成立； (2)对所有实数a，b，方程ax＋b＝0恰有一个解； (3)有些整数既能被2整除，又能被3整除； (4)某个四边形不是平行四边形． [解]　(1)全称量词命题，表示为∀x∈{x|x>－1}，3x＋4>0. (2)全称量词命题，表示为∀a，b∈R，方程ax＋b＝0恰有一解． (3)存在量词命题，表示为∃x∈Z，x既能被2整除，又能被3整除． (4)存在量词命题，表示为∃x∈{y|y是四边形}，x不是平行四边形． 　判断一个语句是全称量词命题还是存在量词命题的思路 提醒：全称量词命题可以省略全称量词，存在量词命题的存在量词一般不能省略． [跟进训练] 1．下列语句中，是全称量词命题的是________，是存在量词命题的是________．(填序号) ①菱形的四条边相等； ②所有含两个60°角的三角形是等边三角形； ③负数的立方根不等于0； ④至少有一个负整数是奇数； ⑤所有有理数都是实数吗？ ①②③　④　[①②③是全称量词命题；④是存在量词命题；⑤不是命题．] 类型2　全称量词命题与存在量词命题的真假 【例2】　(源自苏教版教材)判断下列命题的真假： (1)∃x∈R，x2>x； (2)∀x∈R，x2>x； (3)∃x∈Q，x2－8＝0； (4)∀x∈R，x2＋2>0. [解]　(1)因为当x＝2时，x2>x成立，所以， “∃x∈R，x2>x”是真命题． (2)因为当x＝0时，x2>x不成立，所以， “∀x∈R，x2>x”是假命题． (3)因为使x2－8＝0成立的x的值只有x＝2与x＝－2，但它们都不是有理数，所以， “∃x∈Q，x2－8＝0”是假命题． (4)因为对任意实数x，都有x2≥0，所以， 对任意实数x，都有x2＋2≥2>0，即 对任意实数x，都有x2＋2>0成立，因此， “∀x∈R，x2＋2>0”是真命题． 　全称量词命题与存在量词命题真假的判断方法 (1)要判定一个全称量词命题是真命题，必须对限定集合M中的每个元素x证明p(x)成立；但要判定全称量词命题是假命题，只要能举出集合M中的一个x，使得p(x)不成立即可(这就是通常所说的“举出一个反例”)． (2)要判定一个存在量词命题是真命题，只要在限定集合M中，能找到一个x使p(x)成立即可；否则，这个存在量词命题就是假命题． [跟进训练] 2．(多选)下列命题是真命题的是(　　) A．一切实