(讲义)1.4.2 充要条件-【提分教练】2023-2024学年新教材高中数学必修第一册(人教A版2019)

1.4.2　充要条件 1．结合具体实例，理解充要条件的意义．(数学抽象) 2．会求(判断)某些问题成立的充要条件．(数学运算) 3．能够利用命题之间的关系判定充要关系或进行充要条件的证明．(逻辑推理) 老赵邀请张三、李四、王五三个人吃饭，时间到了，只有张三、李四准时赴约，王五因事不能到场，老赵说：“该来的没有来．”张三听了脸色一沉，起来一声不吭地走了．老赵愣了片刻，又道了句：“不该走的又走了．”李四听了大怒，拂袖而去． 问题：(1)张三为什么走了？(2)李四为什么走了？ 知识点　充要条件 (1)定义：如果“若p，则q”和它的逆命题“若q，则p”均是真命题，即既有p⇒q，又有q⇒p，就记作p⇔q，此时，p既是q的充分条件，也是q的必要条件，我们说p是q的充分必要条件，简称为充要条件． (2)条件与结论的等价性：如果p是q的充要条件，那么q也是p的充要条件．概括地说，如果p⇔q，那么p与q互为充要条件． 命题按条件和结论的充分性、必要性可分四类：①充分必要条件(充要条件)，即p⇒q且q⇒p. ②充分不必要条件，即p⇒q且qp. ③必要不充分条件，即pq且q⇒p. ④既不充分也不必要条件，即pq且qp. “p是q的充要条件”与“p的充要条件是q”的区别在哪里？ [提示]　(1)p是q的充要条件说明p是条件，q是结论． (2)p的充要条件是q说明q是条件，p是结论． 从“充分不必要条件”“必要不充分条件”“充要条件”“既不充分也不必要条件”中选一个合适的填空． (1) “x2－1＝0”是“|x|－1＝0”的________． (2) “x<5”是“x<3”的________． (1)充要条件　(2)必要不充分条件　[(1)设A＝{x|x2－1＝0}＝{－1，1}，B＝{x||x|－1＝0}＝{－1，1}，所以A＝B，即“x2－1＝0”是“|x|－1＝0”的充要条件． (2)设A＝{x|x<5}，B＝{x|x<3}，因为AB，所以“x<5”是“x<3”的必要不充分条件．] 类型1　充分、必要、充要条件的判断 【例1】　指出下列各组命题中，p是q的什么条件(“充分不必要条件”“必要不充分条件”“充要条件”“既不充分也不必要条件”)． (1)p：x－3＝0；q：(x－2)(x－3)＝0； (2)p：两个三角形相似；q：两个三角形全等； (3)p：a＞b；q：ac＞bc. [解]　(1)x－3＝0⇒(x－2)(x－3)＝0，但(x－2)·(x－3)＝0x－3＝0，故p是q的充分不必要条件． (2)两个三角形相似两个三角形全等，但两个三角形全等⇒两个三角形相似，故p是q的必要不充分条件． (3)a＞bac＞bc，且ac＞bca＞b， 故p是q的既不充分也不必要条件． 　判断充分条件、必要条件及充要条件的四种方法 (1)定义法：直接判断“若p，则q” 以及“若q，则p” 的真假． (2)集合法：利用集合的包含关系判断． (3)等价法：利用p⇔q与q⇔p的等价关系，一般地，对于条件和结论是否定形式的命题，一般运用等价法． (4)传递法：充分条件和必要条件具有传递性，即由p1⇒p2⇒…⇒pn，可得p1⇒pn；充要条件也具有传递性． [跟进训练] 1．(1)设p：实数a，b满足a>1且b>1；q：实数a，b满足，则p是q的(　　) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 (2)(多选)(2022·广东揭阳期末)设计如图所示的四个电路图，p：“开关S闭合”，q：“灯泡L亮”，则p是q的充要条件的电路图是(　　) A　　　　　　　　　B C　　　　　　　　　D (1)A　(2)BD　[(1)因为a>1且b>1，所以 即p⇒q成立； 反之，若a，b满足 如a＝3，b＝，但不满足 a>1且b>1，即q⇒p不成立， 所以p是q的充分不必要条件．故选A. (2)由题知，A中电路图，开关S闭合，灯泡L亮，而灯泡L亮，开关S不一定闭合，故A中p是q的充分不必要条件； B中电路图，开关S闭合，灯泡L亮，且灯泡L亮，则开关S闭合，故B中p是q的充要条件； C中电路图，开关S闭合，灯泡L不一定亮，灯泡L亮，则开关S一定闭合，故C中p是q的必要不充分条件； D中电路图，开关S闭合，则灯泡L亮，灯泡L亮，则开关S闭合，故D中p是q的充要条件．故选BD.] 类型2　充要条件的证明 【例2】　已知ab≠0，求证：a＋b＝1的充要条件是a3＋b3＋ab－a2－b2＝0. 注：a3＋b3＝(a＋b)·(a2－ab＋b2)． [证明]　先证必要性成立： 若a＋b＝1， 则a3＋b3＋ab－a2－b2 ＝(a＋b)·(a2－ab＋b2)＋ab－a2－b2 ＝1·(a2－ab＋b2)＋ab－a2－b2＝0. 再证充分性成立： ∵a3＋b3