(讲义)1.4.1 充分条件与必要条件-【提分教练】2023-2024学年新教材高中数学必修第一册(人教A版2019)

1.4　充分条件与必要条件 1.4.1　充分条件与必要条件 1．理解充分条件、 必要条件的概念．(数学抽象) 2．了解充分条件与判定定理， 必要条件与性质定理的关系．(数学抽象) 3．能通过充分性、 必要性解决简单的问题．(逻辑推理、数学运算) 我国战国时期所著《墨经》中有这样两句话： (1)“有之则必然，无之则未必然”． (2)“无之则必不然，有之则未必然”． 这两句话蕴含什么逻辑关系呢？这就是本节我们所要探讨的内容． 知识点　充分条件与必要条件 命题真假 “若p，则q”是真命题 “若p，则q”是假命题 推出关系 p⇒q pq 条件关系 p是q的充分条件 q是p的必要条件 p不是q的充分条件 q不是p的必要条件 对充分、必要条件的理解 (1)前提p⇒q，有方向，条件在前，结论在后． (2)“ p是q的充分条件” “ q是p的必要条件” “ q的一个充分条件是p” “ p的一个必要条件是q” 这四种表述形式等价． 思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)“两角相等”是“两角是对顶角”的必要条件． (　　) (2)若p是q的充分条件，则p是唯一的． (　　) (3)若q不是p的必要条件，则“pq”成立． (　　) (4) “x>1”是“x>0”的充分条件． (　　) [答案]　(1)√　(2)×　(3)√　(4)√ 类型1　充分条件的判断 【例1】　(源自苏教版教材)下列所给的各组p，q中，p是q的充分条件的有哪些？ (1)p：x＝2，q：x2－x－2＝0； (2)p：四边形的对角线相等，q：四边形是正方形； (3)p：同位角相等，q：两条直线平行； (4)p：四边形是平行四边形，q：四边形的对角线互相平分． [解]　(1)因为p⇒q，所以p是q的充分条件． (2)因为pq，所以p不是q的充分条件． (3)因为p⇒q，所以p是q的充分条件． (4)因为p⇒q，所以p是q的充分条件． 　充分条件的判断方法 (1)判定p是q的充分条件要先分清什么是p，什么是q，即转化成p⇒q问题． (2)除了用定义判断充分条件，还可以利用集合间的关系判断，若p构成的集合为A，q构成的集合为B，A⊆B，则p是q的充分条件． [跟进训练] 1．(多选)下列“若p，则q”形式的命题中，p是q的充分条件的有(　　) A．若x＜1，则x＜2 B．若两个三角形的三边对应成比例，则这两个三角形相似 C．若|x|≠1，则x≠1 D．若ab＞0，则a＞0，b＞0 ABC　[由x＜1，可以推出x＜2，所以选项A符合题意；由两个三角形的三边对应成比例，可以推出这两个三角形相似，所以选项B符合题意；由|x|≠1，可以推出x≠1，所以选项C符合题意；由ab＞0，不一定能推出a＞0，b＞0，比如a＝b＝－1，所以本选项不符合题意．故选ABC.] 类型2　必要条件的判断 【例2】　下列“若p，则q”形式的命题中，哪些命题中的q是p的必要条件？ (1)若a是1的平方根，则a＝1； (2)若4x2－mx＋9是完全平方式，则m＝12； (3)若a是无理数，则a是无限不循环小数； (4)若a与b互为相反数，则a与b的绝对值相等． [解]　(1)1的平方根是±1，所以pq，所以q不是p的必要条件． (2)因为4x2－mx＋9＝(2x±3)2，所以m＝±12，所以pq，所以q不是p的必要条件． (3)因为无理数是无限不循环小数， 所以p⇒q，所以q是p的必要条件． (4)若a与b互为相反数，则a与b的绝对值相等，所以p⇒q，所以q是p的必要条件． 　必要条件的判断方法 (1)判断p是q的什么条件，主要判断若p成立时，能否推出q成立，反过来，若q成立时，能否推出p成立；若p⇒q为真，则p是q的充分条件，若q⇒p为真，则p是q的必要条件． (2)可利用集合间的关系判断，如条件甲“x∈A”，条件乙“x∈B”，若A⊇B，则甲是乙的必要条件． [跟进训练] 2．(多选)下列“若p，则q”形式的命题中，p是q的必要条件的有(　　) A．若x，y是偶数，则x＋y是偶数 B．若a＜2，则方程x2－2x＋a＝0有实根 C．若四边形的对角线互相垂直，则这个四边形是菱形 D．若ab＝0，则a＝0 BCD　[对于A，x＋y是偶数不一定能推出x，y是偶数，因为x，y可以都是奇数，不符合题意；对于B，当方程x2－2x＋a＝0有实根时，则有(－2)2－4a≥0⇒a≤1，显然能推出a＜2，符合题意；对于C，因为菱形对角线互相垂直，所以由四边形是菱形能推出四边形的对角线互相垂直，符合题意；对于D，显然由a＝0能推出ab＝0，所以符合题意．故选BCD.] 类型3　充分条件与必要条件的应用 【例3】　已知集合P＝{x|－2＜x＜4}，Q＝{x|3m－2≤x≤5m＋2，m∈R}．若P的充分