(讲义)1.3 第2课时 补集-【提分教练】2023-2024学年新教材高中数学必修第一册(人教A版2019)

第2课时　补集 1．在具体情境中，了解全集的含义及其符号表示．(数学抽象) 2．理解给定集合中一个子集的补集的含义，并会求给定子集的补集．(数学抽象、数学运算) 3．会用Venn图、数轴进行集合的运算．(数学运算) 如果学校里所有同学组成的集合记为S，所有男同学组成的集合记为M，所有女同学组成的集合记为F，那么： (1)这三个集合之间有什么联系？ (2)如果x∈S且x∉M，你能得到什么结论？ 知识点　全集与补集 (1)全集 ①定义：如果一个集合含有所研究问题中涉及的所有元素，那么就称这个集合为全集． ②记法：全集通常记作U． 全集一定是实数集R吗？ [提示]　不一定．全集是一个相对概念，因研究问题的不同而变化，如在实数范围内解不等式，全集为实数集R，而在整数范围内解不等式，则全集为整数集Z． (2)补集 自然语言 对于一个集合A，由全集U中不属于集合A的所有元素组成的集合称为集合A相对于全集U的补集，简称为集合A的补集，记作∁UA 符号语言 ∁UA＝{x|x∈U，且x∉A} 图形语言 性质 (1)∁UA⊆U；(2)∁UU＝∅，∁U∅＝U；(3)∁U(∁UA)＝A；(4)A∪(∁UA)＝U；A∩(∁UA)＝∅ ∁UA包含三层含义： (1)A⊆U．(2)∁UA是一个集合，且∁UA⊆U． (3)∁UA是U中所有不属于A的元素构成的集合． 1．思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)集合∁BC与∁AC相等． (　　) (2)A∩(∁UA)＝∅． (　　) (3)一个集合的补集中一定含有元素． (　　) [答案]　(1)×　(2)√　(3)× 2．(1)已知全集U＝{1，2，3，4，5，6，7}，集合A＝{1，3，5，6}，则∁UA＝________． (2)已知全集U为R，集合A＝{x|x<1，或x≥5}，则∁UA＝________． (1){2，4，7}　(2){x|1≤x<5}　[(1)由A＝{1，3，5，6}，U＝{1，2，3，4，5，6，7}，得∁UA＝{2，4，7}． (2)集合A＝{x|x<1，或x≥5}的补集是∁UA＝{x|1≤x<5}．] 类型1　补集的运算 【例1】　(1)已知全集为U，集合A＝{1，3，5，7}，∁UA＝{2，4，6}，∁UB＝{1，4，6}，则集合B＝________． (2)(2022·北京高考改编)已知全集U＝{x|－3<x<3}，集合A＝{x|－2<x≤1}，则∁UA＝________． (1){2，3，5，7}　(2){x|－3<x≤－2或1<x<3} [(1)法一(定义法)：因为A＝{1，3，5，7}，∁UA＝{2，4，6}，所以U＝{1，2，3，4，5，6，7}． 又∁UB＝{1，4，6}，所以B＝{2，3，5，7}． 法二(Venn图法)：满足题意的Venn图如图所示． 由Venn图可知B＝{2，3，5，7}． (2)将集合U和集合A分别表示在数轴上，如图所示． 由补集定义可知：∁UA＝{x|－3<x≤－2或1<x<3}．] 　求集合的补集的方法 (1)定义法：当集合中的元素较少时，可利用定义直接求解． (2)Venn图法：借助Venn图可直观地求出全集及补集． (3)数轴法：当集合中的元素连续且无限时，可借助数轴求解，此时需注意端点问题． [跟进训练] 1．(1)设集合A＝{x∈N*|x≤6}，B＝{2，4}，则∁AB等于(　　) A．{2，4} B．{0，1，3，5} C．{1，3，5，6} D．{x∈N*|x≤6} (2)已知U＝{x|x>0}，A＝{x|2≤x<6}，则∁UA＝______． (1)C　(2){x|0<x<2，或x≥6}　[(1)因为A＝{x∈N*|x≤6}＝{1，2，3，4，5，6}，B＝{2，4}，所以∁AB＝{1，3，5，6}．故选C． (2)如图， 分别在数轴上表示两集合，则由补集的定义可知，∁UA＝{x|0<x<2，或x≥6}．] 类型2　集合交、并、补集的综合运算 【例2】　(源自北师大版教材)设全集U＝R，A＝{x|x<5}，B＝{x|x>3}，求： (1)∁R(A∩B)； (2)∁R(A∪B)； (3)(∁RA)∩(∁RB)； (4)(∁RA)∪(∁RB)． [解]　(1)在数轴上表示出集合A，B(如图1)， 图1 则A∩B＝{x|x<5}∩{x|x>3}＝{x|3<x<5}， 所以∁R(A∩B)＝{x|x≤3，或x≥5}． (2)由图1可知A∪B＝{x|x<5}∪{x|x>3}＝R，所以∁R(A∪B)＝∅． (3)在数轴上表示出集合∁RA，∁RB(如图2)， 图2 即∁RA＝{x|x≥5}，∁RB＝{x|x≤3}，所以(∁RA)∩(∁RB)＝{x|x≥5}∩{x|x≤3}＝∅． (4)由图2