(讲义)1.3 第1课时 并集与交集-【提分教练】2023-2024学年新教材高中数学必修第一册(人教A版2019)

1.3　集合的基本运算 第1课时　并集与交集 1．理解两个集合的并集与交集的含义，会求两个简单集合的并集和交集．(数学运算) 2．能使用Venn图表达集合的关系及运算，体会图示对理解抽象概念的作用．(直观想象) 某班班主任准备召开一个意见征求会，要求所有上一次考试中语文成绩低于70分或英语成绩低于70分的同学参加．如果记语文成绩低于70分的所有同学组成的集合为M，英语成绩低于70分的所有同学组成的集合为N，需要去参加意见征求会的同学组成的集合为P，那么这三个集合之间有什么联系呢？ 知识点1　并集 对并集中“或”的理解 “x∈A或x∈B”这一条件包括下列三种情况：x∈A，但x∉B；x∈B，但x∉A；x∈A，且x∈B．用Venn图表示如图所示． 集合A∪B的元素个数是否等于集合A与集合B的元素个数之和？ [提示]　不一定．A∪B的元素个数小于或等于集合A与集合B的元素个数之和． 知识点2　交集 1．(1)设集合M＝{4，5，6，8}，N＝{3，5，7，8}，则M∪N＝________． (2)已知A＝{x|x>1}，B＝{x|x>0}，则A∪B＝________． (1){3，4，5，6，7，8}　(2){x|x>0}　[(1)M∪N＝{3，4，5，6，7，8}．(2)A∪B＝{x|x>0}．] 2．已知表示集合M＝{－1，0，1}和P＝{0，1，2，3}关系的Venn图如图所示，则阴影部分表示的集合是________． {0，1}　[由题图可知M∩P＝{0，1}．] 类型1　并集概念及其应用 【例1】　(1)(2022·浙江高考)设集合A＝{1，2}，B＝{2，4，6}，则A∪B＝(　　) A．{2} B．{1，2} C．{2，4，6} D．{1，2，4，6} (2)(2021·北京高考)已知集合A＝{x|－1＜x＜1}，B＝{x|0≤x≤2}，则A∪B＝(　　) A．{x|0≤x＜1} B．{x|－1＜x≤2} C．{x|1＜x＜2} D．{x|0＜x≤2} (1)D　(2)B　[(1)A∪B＝{1，2，4，6}，故选D． (2)如图所示： ∴A∪B＝{x|－1＜x≤2}．故选B．] 　求集合并集的2种基本方法 (1)直接法：若集合是用列举法表示的，可以直接利用并集的定义求解． (2)数形结合法：若集合是用描述法表示的由实数组成的数集，则可以借助数轴分析法求解． [跟进训练] 1．已知集合A＝{－1，3}，B＝{2，a2}，若A∪B＝{－1，3，2，9}，则实数a的值为(　　) A．±1 B．±3 C．－1 D．3 B　[∵集合A＝{－1，3}，B＝{2，a2}，A∪B＝{－1，3，2，9}，∴a2＝9，解得a＝±3，故选B．] 类型2　交集概念及其应用 【例2】　(1)设集合A＝{x|－1≤x≤2}，B＝{x|0≤x≤4}，则A∩B等于(　　) A．{x|0≤x≤2} B．{x|1≤x≤2} C．{x|0≤x≤4} D．{x|1≤x≤4} (2)已知集合A＝{x|x＝3n＋2，n∈N}，B＝{6，8，10，12，14}，则集合A∩B中元素的个数为(　　) A．5 B．4 C．3 D．2 (1)A　(2)D　[(1)∵A＝{x|－1≤x≤2}，B＝{x|0≤x≤4}，如图， 故A∩B＝{x|0≤x≤2}． (2)∵8＝3×2＋2，14＝3×4＋2，∴8∈A，14∈A， ∴A∩B＝{8，14}，故选D．] 　求两个集合的交集的方法 (1)直接法：对于元素个数有限的集合，逐个挑出两个集合的公共元素即可． (2)数形结合法：对于元素个数无限的集合，一般借助数轴求交集，两个集合的交集等于两个集合在数轴上的相应图形所覆盖的公共范围，要注意端点值的取舍． [跟进训练] 2．(2021·全国乙卷)已知集合S＝{s|s＝2n＋1，n∈Z}，T＝{t|t＝4n＋1，n∈Z}，则S∩T＝(　　) A．∅ B．S C．T D．Z C　[法一：在集合T中，令n＝k(k∈Z)，则t＝4n＋1＝2·(2k)＋1(k∈Z)，而集合S中，s＝2n＋1(n∈Z)，所以必有T⊆S，所以T∩S＝T，故选C． 法二：S＝{…，－3，－1，1，3，5，…}，T＝{…，－3，1，5，…}，观察可知，T⊆S，所以T∩S＝T，故选C．] 类型3　集合交、并集运算的性质及 综合应用 【例3】　已知集合A＝{x|－3<x≤4}，集合B＝{x|k＋1≤x≤2k－1}，且A∪B＝A，试求k的取值范围． 思路导引：A∪B＝AB⊆A求k的取值范围． [解]　(1)当B＝∅，即k＋1>2k－1时，k<2，满足A∪B＝A． (2)当B≠∅时，要使A∪B＝A， 只需解得2≤k≤．