(讲义)1.1 第2课时 集合的表示-【提分教练】2023-2024学年新教材高中数学必修第一册(人教A版2019)

第2课时　集合的表示 1．初步掌握集合的两种表示方法－－列举法、描述法．(数学抽象) 2．会用集合的两种表示方法表示一些简单集合．(数学运算) 四大名著是指中国古典文学名著《三国演义》(作者 罗贯中)、《水浒传》(作者 施耐庵)、《西游记》(作者 吴承恩)、《红楼梦》(作者 曹雪芹、高鹗)．四大名著是中国古典文学的精品，承载着中国文化的精髓．中国古典四大名著能组成集合吗？如何表示该集合？ 知识点1　列举法 把集合的所有元素一一列举出来，并用花括号“{}”括起来表示集合的方法叫做列举法． 用列举法表示集合时应注意以下两点： (1)元素间用“，”隔开． (2)花括号“{　}”含有“所有”“全体”的含义，因此实数集R不能表示成{R}． 知识点2　描述法 一般地，设A是一个集合，把集合A中所有具有共同特征P(x)的元素x所组成的集合表示为{x∈A|P(x)}，这种表示集合的方法称为描述法． 用描述法表示集合时应注意以下三点： (1)代表元素x可以是数，也可以是点，…． (2)所有描述的内容都要写在花括号内．如偶数集可以表示为{x|x＝2k，k∈Z}，其中k∈Z不能省略． (3)多层描述时，应当准确使用“且”“或”等表示元素之间关系的词语，如{x|x<－1，或x>1}． {(x，y)|y＝x2＋2}能否写为{x|y＝x2＋2}或{y|y＝x2＋2}呢？ [提示]　不能．前面集合表示的是点集；而后两个集合表示的是数集． 1．方程x2＝4的解集用列举法表示为(　　) A．{(－2，2)}　　B．{－2，2} C．{－2} D．{2} B　[由x2＝4得x＝±2，故用列举法可表示为{－2，2}．] 2．用描述法表示不等式4x－5<7的解集为________． {x|x<3}　[用描述法可表示为{x|x<3}．] 类型1　用列举法表示集合 【例1】　用列举法表示下列给定的集合： (1)不大于10的非负偶数组成的集合A； (2)小于8的质数组成的集合B； (3)方程2x2－x－3＝0的实数根组成的集合C； (4)一次函数y＝x＋3与y＝－2x＋6的图象的交点组成的集合D． [解]　(1)不大于10的非负偶数有0，2，4，6，8，10，所以A＝{0，2，4，6，8，10}． (2)小于8的质数有2，3，5，7， 所以B＝{2，3，5，7}． (3)方程2x2－x－3＝0的实数根为－1，， 所以C＝． (4)由 所以一次函数y＝x＋3与y＝－2x＋6的图象的交点为(1，4)， 所以D＝{(1，4)}． 　用列举法表示集合的3个步骤 (1)求出集合的元素． (2)把元素一一列举出来，且相同元素只能列举一次． (3)将所有元素用花括号括起来． [跟进训练] 1．用列举法表示下列集合： (1)小于10的所有正整数组成的集合； (2)直线y＝2x＋1与y轴的交点所组成的集合． [解]　(1)设小于10的所有正整数组成的集合为A，那么A＝{1，2，3，4，5，6，7，8，9}． (2)将x＝0代入y＝2x＋1，得y＝1，即交点是(0，1)，故交点组成的集合是{(0，1)}． 类型2　用描述法表示集合 【例2】　(源自北师大版教材)用描述法表示下列集合： (1)小于10的所有有理数组成的集合A； (2)所有奇数组成的集合B； (3)平面α内，到定点O的距离等于定长r的所有点组成的集合C． [解]　(1)设x∈A，则x∈Q，且使x<10成立．因此，用描述法可以表示为A＝{x∈Q|x<10}． (2)设x∈B，则x是一个奇数．因此，用描述法可以表示为B＝{x|x＝2n－1，n∈Z}． (3)设M∈C，则M∈α，M到α内的定点O的距离等于定长r．因此，用描述法可以表示为C＝{M∈α|O为α内的定点，r为定值，且M到O的距离等于r}． 　用描述法表示集合的2个步骤 提醒：用描述法表示集合时，不能出现未被说明的字母． [跟进训练] 2．用描述法表示下列集合： (1)平面直角坐标系中的x轴上的点组成的集合； (2)抛物线y＝x2－4上的点组成的集合； (3)使函数y＝有意义的实数x组成的集合． [解]　(1){(x，y)|x∈R，y＝0}． (2){(x，y)|y＝x2－4}． (3){x|x≠1}． 类型3　集合表示方法的综合应用 【例3】　集合A＝{x|kx2－8x＋16＝0}，若集合A中只有一个元素，求实数k的值组成的集合． 思路导引：A中只有一个元素方程kx2－8x＋16＝0有唯一解． [解]　(1)当k＝0时，方程kx2－8x＋16＝0变为－8x＋16＝0，解得x＝2，满足题意； (2)当k≠0时，要使集合A＝{x|kx2－8x＋16＝0}中只有一个元素，则方程kx2－8x＋16＝0有两个相等的实数根，所以Δ＝64－64k＝0，解得k＝1，此