28.2 解直角三角形及其应用-【本土学练】2023-2024学年云南九年级全一册数学初中同步学案（人教版）

　 28. 2　 解直角三角形及其应用 28. 2. 1 解直角三角形 1 解直角三角形 　 　 一般地,直角三角形中,由已知条件(至 少有一个是边),求出其余未知元素的过程. 2 解题依据 　 　 (1)必须在直角三角形中求解,如果没 有直角三角形,要作辅助线构建直角三角形. 　 　 (2)解题依据和常用的关系 　 　 ①勾股定理:a2 + b2 = c2; 　 　 ②两锐角互余:∠A +∠B =90°; 　 　 ③边角之间的关系:sin A = 　 cos B 　 = ac , 　 　 cos A = 　 sin B　 = bc , 　 　 tan A = 　 ab 　 ,tan B = 　 b a 　 . 　 　 ④面积 S = 12 ab = 1 2 ch(h 为斜边 c 上的 高). 　 　 (3)题型和解题方法 已知条件 图形 解法 一直角边 和一锐角 (a,∠A) ∠B = 90° - ∠A;c = asinA;b = a tanA 斜边和一 锐 角 ( c, ∠A) ∠B = 90° - ∠A;a = c·sin A; b = c ·cos A 两直角边 (a,b) c = a2 + b2 ;tan A = ab ; ∠B = 90° -∠A 斜边和一 直 角 边 (c,a) b = c2 - a2 ;sin A = ac ; ∠B = 90° -∠A 已知两边解直角三角形 1. 在 Rt△ABC 中,AB = 4,AC = 2 2 ,∠C = 90°,则∠A 的度数为 (　 C　 ) A. 30°　 　 B. 40°　 　 C. 45°　 　 D. 60° 2. 在△ABC 中,∠C = 90°,AC = 3,AB = 4,欲 求∠A 的度数,最适宜的做法是 (　 C　 ) A. 计算 tan A 的值求出 B. 计算 sin A 的值求出 C. 计算 cos A 的值求出 D. 先根据 sinB 求出∠B,再利用 90° - ∠B 求出 3. 在 Rt△ABC 中,∠C =90°,a =20,c =20 2,则 ∠A = 　 45°　 ,∠B = 　 45°　 ,b = 　 20　 . 4. 在 Rt△ABC 中,∠C = 90°,∠A,∠B,∠C 所对的边分别为 a,b,c,且 b = 4 5 ,a = 4 15 ,解此直角三角形. 解:在 Rt△ABC 中,∵ ∠C =90°,b =4 5 ,a =4 15 , ∴ tan A = ab = 4 15 4 5 = 3 , ∴ ∠A =60°,∴ ∠B =90° -∠A =30°, ∴ c =2b =8 5 . 故 c =8 5 ,∠A =60°,∠B =30°. 已知一边及一锐角解直角三角形 5. 在△ABC 中,∠A = 40°,∠C = 90°,BC = 7, 则 AB 边的长是 (　 C　 ) A. 7sin 40°　 B. 7cos 40° C. 7sin 40°　 D. 7 cos 40° 6. 如果等腰三角形的底角为 30°,腰长为 6 cm,那么这个三角形的面积为 (　 B　 ) A. 4. 5 cm2 B. 9 3 cm2 C. 18 3 cm2 D. 36 cm2 171 7. 已知 Rt△ABC 中,∠C = 90°,∠A = 30°,斜 边上的高 CE 为 1,则△ABC 的三边长分别 为 (　 A　 ) A. BC = 2 33 ,AC =2,AB = 4 3 3 B. BC = 3 ,AC =2,AB = 7 C. BC =2,AC = 2 33 ,AB = 4 3 3 D. BC =2 2 ,AC =2,AB =4 8. 在 Rt△ABC 中,∠C = 90°,a,b,c 分别是 ∠A,∠B,∠C 的对边. 解满足下列条件的 直角三角形. (1)∠B =60°,c =25; (2)∠A =30°,b = 3 . 解:(1) 在 Rt△ABC 中,∠C = 90°,∠B =60°, ∴ ∠A =30°,∴ sin A = ac = 1 2 . ∵ c =25,∴ a = 252 . ∵ cos A = bc = 3 2 ,c =25, ∴ b = 25 32 . 综上,a = 252 ,b = 25 3 2 ,∠A =30°; (2)∵ ∠C =90°,∠A =30°,∴ ∠B =60°. 在 Rt△ABC 中,cos A = bc = 3 2 , ∵ b = 3 ,∴ c =2,∴ a = 12 c =1. 综上,a =1,c =2,∠B =60°. 解直角三角形的综合运用 9. 在 Rt△ABC 中,∠C = 90°,斜边上的中线长 是 3 cm,sin A = 13 ,则 S△ABC = (　 D　 ) A. 2 cm