(讲义)第5章 导数及其应用 章末综合提升-【提分教练】2023-2024学年新教材高中数学选择性必修第一册(苏教版2019)

类型1　导数的几何意义 1．导数的几何意义的应用：利用导数的几何意义可以求出曲线上任意一点处的切线方程y－y0＝f ′(x0)(x－x0)，明确“过点P(x0，y0)的曲线y＝f (x)的切线方程”与“在点P(x0，y0)处的曲线y＝f (x)的切线方程”的异同点． 2．围绕着切点有三个等量关系：切点(x0，y0)，则k＝f ′(x0)，y0＝f (x0)，(x0，y0)满足切线方程，在求解参数问题中经常用到． 【例1】　已知函数f (x)＝x3＋x－16. (1)求曲线y＝f (x)在点(2，－6)处的切线方程； (2)直线l为曲线y＝f (x)的切线，且经过原点，求直线l的方程及切点坐标； (3)如果曲线y＝f (x)的某一切线与直线y＝－x＋3垂直，求切点坐标与切线的方程． [解]　(1)∵f ′(x)＝(x3＋x－16)′＝3x2＋1， ∴f (x)在点(2，－6)处的切线的斜率为k＝f ′(2)＝13. ∴切线的方程为y＝13(x－2)＋(－6)， 即y＝13x－32. (2)设切点为(x0，y0)， 则直线l的斜率为f ′(x0)＝3x＋1， ∴直线l的方程为 y＝(3x＋1)(x－x0)＋x＋x0－16. 又∵直线l过点(0，0)， ∴0＝(3x＋1)(－x0)＋x＋x0－16. 整理得，x＝－8， ∴x0＝－2. ∴y0＝(－2)3＋(－2)－16＝－26. k＝3×(－2)2＋1＝13. ∴直线l的方程为y＝13x，切点坐标为(－2，－26). (3)∵切线与直线y＝－＋3垂直， ∴切线的斜率k＝4. 设切点坐标为(x0，y0)， 则f ′(x0)＝3x＋1＝4， ∴x0＝±1. ∴或 即切点为(1，－14)或(－1，－18). 切线方程为y＝4(x－1)－14或y＝4(x＋1)－18. 即y＝4x－18或y＝4x－14. 类型2　函数的单调性与导数 利用导数确定参数的取值范围时，要充分利用f (x)与其导数f ′(x)之间的对应关系，然后结合函数的单调性等知识求解． 求解参数范围的步骤为： (1)对含参数的函数f (x)求导，得到f ′(x)； (2)若函数f (x)在(a，b)上单调递增，则f ′(x)≥0恒成立；若函数f (x)在(a，b)上单调递减，则f ′(x)≤0恒成立，得到关于参数的不等式，解出参数范围； (3)验证参数范围中取等号时，是否恒有f ′(x)＝0.若f ′(x)＝0恒成立，则函数f (x)在(a，b)上为常函数，舍去此参数值． 【例2】　(1)若函数f (x)＝x－sin 2x＋a sin x在(－∞，＋∞)上单调递增，则a的取值范围是(　　) A．[－1，1]　 B． C． D． (2)设函数f ′(x)是奇函数f (x)(x∈R)的导函数，f (－1)＝0，当x>0时，xf ′(x)－f (x)<0，则使得f (x)>0成立的x的取值范围是(　　) A．(－∞，－1)∪(0，1) B．(－1，0)∪(1，＋∞) C．(－∞，－1)∪(－1，0) D．(0，1)∪(1，＋∞) (1)C　(2)A　[(1)f ′(x)＝1－cos 2x＋a cos x＝1－(2cos2x－1)＋a cosx＝－cos2x＋a cosx＋，f (x)在R上单调递增， 则f ′(x)≥0在R上恒成立，令cos x＝t，t∈[－1，1]， 则－t2＋at＋≥0在[－1，1]上恒成立， 即4t2－3at－5≤0在[－1，1]上恒成立， 令g(t)＝4t2－3at－5， 则 解得－≤a≤，故选C. (2)令g(x)＝，则g′(x)＝，由题意知，当x＞0时，g′(x)＜0，∴g(x)在(0，＋∞)上是减函数． ∵f (x)是奇函数，f (－1)＝0，∴f (1)＝－f (－1)＝0， ∴g(1)＝＝0， ∴当x∈(0，1)时，g(x)＞0，从而f (x)＞0； 当x∈(1，＋∞)时，g(x)＜0，从而f (x)＜0. 又∵g(－x)＝＝＝＝g(x)(x≠0)， ∴g(x)是偶函数， ∴当x∈(－∞，－1)时，g(x)＜0，从而f (x)＞0； 当x∈(－1，0)时，g(x)＞0，从而f (x)＜0. 综上，所求x的取值范围是(－∞，－1)∪(0，1).故选A.] 类型3　函数的极值、最值与导数 1．求连续函数f (x)在区间[a，b]上的最值的方法 (1)若函数f (x)在区间[a，b]上单调递增或递减，则f (a)与f (b)一个为最大值，一个为最小值； (2)若函数f (x)在闭区间[a，b]内有极值，则要先求出[a，b]上的极值，再与f (a)，f (b)比较，最大的是最大值，最小的是最小值，可列表完成． 2．已知函数的极值(最值)情况求参数的值(取值范围)的方法 根据极值