(讲义)5.1.1 平均变化率-【提分教练】2023-2024学年新教材高中数学选择性必修第一册(苏教版2019)

5.1　导数的概念 5.1.1　平均变化率 1．了解平均变化率的实际背景． 2．理解平均变化率的含义．(重点) 3．会求函数在某一点附近的平均变化率，并能用平均变化率解释一些实际问题．(难点) 1．通过对函数的平均变化率概念的学习，培养数学抽象的核心素养． 2．通过利用平均变化率解释实际问题，培养数学建模的核心素养． 高台跳水运动中，运动员相对于水面的高度h(m)与起跳后的时间t(s)存在函数关系h(t)＝－4.9t2＋6.5t＋10.那么如何用运动员在某些时间段内的平均速度粗略地描述其运动状态？ 知识点　平均变化率 (1)平均变化率的定义：函数f (x)在区间[x1，x2]上的平均变化率为． (2)平均变化率是曲线陡峭程度的“数量化”，或者说，曲线陡峭程度是平均变化率的“视觉化”． 1.思考辨析 (正确的打“√”，错误的打“×”) (1)对于函数y＝f (x)，当x从x1变为x2时，x2－x1一定大于0． (　　) (2)对于函数y＝f (x)，当x从x1变为x2时，函数值的变化量为f (x2)－f (x1)可以是正数，也可以是负数或零． (　　) (3)函数y＝f (x)在区间[x1，x2]上的平均变化率为． (　　) [答案]　(1)×　(2)√　 (3)√ 2.若一质点按规律s＝8＋t2运动，则在一小段时间[2，2.1]内的平均速度是(　　) A．4 B．4.1 C．0.41 D．－1.1 B　[＝＝＝＝4.1，故选B.] 类型1　求平均变化率 【例1】　(1)求函数f (x)＝3x2＋2在区间[2，2.1]上的平均变化率； (2)求函数g(x)＝3x－2在区间[－2，－1]上的平均变化率． [解]　(1)函数f (x)＝3x2＋2在区间[2，2.1]上的平均变化率为 ＝＝12.3. (2)函数g(x)＝3x－2在区间[－2，－1]上的平均变化率为＝＝＝3. 求函数平均变化率的步骤是什么？ [提示]　求函数平均变化率的步骤： (1)求自变量的改变量x2－x1； (2)求函数值的改变量f (x2)－f (x1)； (3)求平均变化率. [跟进训练] 1．如图，函数y＝f (x)在[1，5]上的平均变化率为(　　) A． B．－ C．2 D．－2 B　[＝＝－.故选B.] 2．已知函数f (x)＝x2＋2x－5，则f (x)在区间[－1，0]上的平均变化率为________． 1　[∵f (－1)＝(－1)2＋2×(－1)－5＝－6，f (0)＝－5， ∴＝＝1.] 类型2　实际问题中的平均变化率 【例2】　(1)圆的半径r从0.1变化到0.3时，圆的面积S的平均变化率为________． (2)在F1赛车中，赛车位移(单位：m)与比赛时间t(单位：s)存在函数关系S＝10t＋5t2，则赛车在[20，20.1]上的平均速度是多少？ (1)0.4π　[∵S＝πr2，∴圆的半径r从0.1变化到0.3时， 圆的面积S的平均变化率为＝＝0.4π.] (2)[解]　赛车在[20，20.1]上的平均速度为 ＝ ＝＝210.5(m/s). 平均变化率问题在生活中随处可见，常见的有求某段时间内的平均速度、加速度、膨胀率、经济效益等．分清自变量和因变量是解决此类问题的关键． [跟进训练] 3.某森林公园在过去的10年里，森林占地面积变化如图所示，试分别计算前5年与后5年森林面积的平均变化率． [解]　前5年森林面积的平均变化率为＝0.8(公顷/年). 后5年森林面积的平均变化率为＝1.6(公顷/年). 类型3　函数平均变化率的应用 【例3】　汽车行驶的路程s和时间t之间的函数图象如图所示．在时间段[t0，t1]，[t1，t2]，[t2，t3]上的平均速度分别为1，2，3，则三者的大小关系是________． 如何确定1，2，3的大小关系？ [提示]　根据平均变化率的几何意义，即转化为直线的斜率进行判断． 3＞2＞1　[1＝＝kOA， 2＝＝kAB，3＝＝kBC， 由图象知，kOA<kAB<kBC，所以3>2>1.] [母题探究] 在本例中，汽车行驶的路程s和时间t之间的函数图象换为如图所示，则在下列区间上平均速度最大的是(　　) A．[0，1] B． C． D． D　[在区间[0，1]，，，上时，Δt相同，由图象可知函数在区间上的Δs最大．所以函数f 在区间上的平均变化率最大．] 平均变化率的绝对值的大小反映函数在给定区间上变化的快慢，平均变化率的绝对值越大，函数在区间上的变化率越快；平均变化率的绝对值越小，函数在区间上的变化率越慢． [跟进训练] 4.甲，乙两人走过的路程s1(t)，s2(t)与时间t的关系如图所示，则在[0，t0]这个时间段内，甲，乙两人的平均速度v甲，v