(讲义)2.1 第2课时 圆的一般方程-【提分教练】2023-2024学年新教材高中数学选择性必修第一册(苏教版2019)

第2课时　圆的一般方程 1．正确理解圆的方程的一般形式及特点，会由一般式求圆心和半径．(重点) 2．会在不同条件下求圆的一般方程．(重点) 1．通过对圆的一般方程的推导，提升逻辑推理、数学运算的数学素养． 2．通过学习圆的一般方程的应用，培养数学运算的数学素养． (1)把(x－a)2＋(y－b)2＝r2展开是一个什么样的关系式？ (2)把x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0配方后，将得到怎样的方程？这个方程一定表示圆吗？在什么条件下一定表示圆？ 这就是今天我们将要研究的问题． 知识点　圆的一般方程 (1)圆的一般方程的概念 方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F＞0)叫作圆的一般方程．其中圆心为，圆的半径为r＝． (2)对方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0的说明 方程 条件 图形 x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0 D2＋E2－4F＜0 不表示任何图形 D2＋E2－4F＝0 表示一个点 D2＋E2－4F＞0 表示以为圆心，以为半径的圆 方程Ax2＋Bxy＋Cy2＋Dx＋Ey＋F＝0表示圆的条件是什么？ [提示]　A＝C≠0，B＝0且D2＋E2－4F＞0. 1.思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)任何一个圆的方程都能写为一个二元二次方程． (　　) (2)圆的一般方程和标准方程可以互化． (　　) (3)方程x2＋y2＋ax＋2ay＋2a2＋a－1＝0表示圆心为，半径为的圆． (　　) (4)若点M(x0，y0)在圆x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0外，则x＋y＋Dx0＋Ey0＋F>0． (　　) [解析]　(1)正确．圆的方程都能写成一个二元二次方程． (2)正确．圆的一般方程和标准方程是可以互化的． (3)错误．当a2＋(2a)2－4(2a2＋a－1)>0，即－2<a<时才表示圆． (4)正确．因为点M(x0，y0)在圆外，所以＋>，即x＋y＋Dx0＋Ey0＋F>0. [答案]　(1)√　(2)√　(3)×　(4)√ 2.若方程x2＋y2＋2λx＋2λy＋ 2λ2―λ＋1＝0表示圆，则λ的取值范围是(　　) A．(1，＋∞)　 B．[，1] C．(1，＋∞)∪ D．R A　[因为方程x2＋y2＋2λx＋2λy＋2λ2―λ＋1＝0表示圆，所以D2＋E2―4F＞0， 即4λ2＋4λ2―4(2λ2―λ＋1)＞0，解不等式得λ＞1，即λ的取值范围是(1，＋∞).故选A.] 3.过点(0，0)，(4，0)和(0，6)三点的圆的一般方程为________． x2＋y2－4x－6y＝0　[三点构成的三角形为直角三角形，且圆心坐标为(2，3)，半径r＝＝. ∴方程为(x－2)2＋(y－3)2＝13，一般方程为x2＋y2－4x－6y＝0.] 类型1　圆的一般方程的认识 【例1】　若方程x2＋y2＋2mx－2y＋m2＋5m＝0表示圆，求： (1)实数m的取值范围； (2)圆心坐标和半径． [解]　(1)据题意知 D2＋E2－4F＝(2m)2＋(－2)2－4(m2＋5m)＞0，即4m2＋4－4m2－20m＞0， 解得m＜， 故m的取值范围为. (2)将方程x2＋y2＋2mx－2y＋m2＋5m＝0写成标准方程为(x＋m)2＋(y－1)2＝1－5m， 故圆心坐标为(－m，1)，半径r＝. 解答该类型的题目，一般先看这个方程是否具备圆的一般方程的特征，当它具备圆的一般方程的特征时，再看它能否表示圆，此时有两种途径，一看D2＋E2－4F是否大于零，二是直接配方变形，看方程等号右端是否为大于零的常数． [跟进训练] 1．下列方程各表示什么图形？若表示圆，求其圆心和半径． (1)x2＋y2＋x＋1＝0； (2)x2＋y2＋2ax＋a2＝0(a≠0)； (3)2x2＋2y2＋2ax－2ay＝0(a≠0). [解]　(1)∵D＝1，E＝0，F＝1， ∴D2＋E2－4F＝1－4＝－3＜0， ∴方程不表示任何图形． (2)∵D＝2a，E＝0，F＝a2， ∴D2＋E2－4F＝4a2－4a2＝0， ∴方程表示点(－a，0). (3)两边同除以2，得x2＋y2＋ax－ay＝0， D＝a，E＝－a，F＝0，∴D2＋E2－4F＝2a2＞0， ∴方程表示圆，它的圆心为， 半径r＝＝|a|. 类型2　求圆的一般方程 【例2】　已知△ABC的三个顶点为A(1，4)，B(－2，3)，C(4，－5)，求△ABC的外接圆方程、外心坐标和外接圆半径． [解]　法一：设△ABC的外接圆方程为 x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0， ∵A，B，C在圆上， ∴ ∴ ∴△ABC的外接圆方程为x2＋y2－2x＋2y－23＝0， 即(x－1)2＋(y＋1)2＝25. ∴外心坐标为(1，－1)，外接圆半径为5. 法二：∵kAB＝＝，kAC＝＝－3， ∴kA