(讲义)2.1 第1课时 圆的标准方程-【提分教练】2023-2024学年新教材高中数学选择性必修第一册(苏教版2019)

2.1　圆的方程 第1课时　圆的标准方程 1．会用定义推导圆的标准方程；掌握圆的标准方程的特点．(重点) 2．会根据已知条件求圆的标准方程．(重点、难点) 3．能准确判断点与圆的位置关系．(易错点) 通过对圆的标准方程的学习，提升直观想象、逻辑推理、数学运算的数学素养． “南昌之星”摩天轮2006年建成时是世界上最高的摩天轮，它位于江西省南昌市红谷滩新区红角洲赣江边上的赣江市民公园，是南昌市标志性建筑．该摩天轮总高度为160米，转盘直径为153米． 请问：游客在摩天轮转动过程中离摩天轮中心的距离一样吗？若以摩天轮中心所在位置为原点，建立平面直角坐标系，游客在任一点(x，y)的坐标满足什么关系？ 知识点1　圆的标准方程 (1)圆的定义：平面内到定点的距离等于定长的点的集合叫作圆，定点就是圆心，定长就是圆的半径． (2)圆的标准方程：圆心为A(a，b)、半径长为r的圆的标准方程是(x－a)2＋(y－b)2＝r2． 当a＝b＝0时，方程为x2＋y2＝r2，表示以原点O为圆心、半径为r的圆． 平面内确定圆的要素是什么？ [提示]　圆心坐标和半径． 1.思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)方程(x－a)2＋(y－b)2＝m2表示圆． (　　) (2)若圆的标准方程是(x－a)2＋(y－b)2＝m2(m≠0)，则圆心为(a，b)，半径为m． (　　) (3)圆心是原点的圆的标准方程是x2＋y2＝r2(r＞0)． (　　) [答案]　(1)×　(2)×　(3)√ 2.以原点为圆心、2为半径的圆的标准方程是(　　) A．x2＋y2＝2 B．x2＋y2＝4 C．(x－2)2＋(y－2)2＝8 D．x2＋y2＝ B　[以原点为圆心，2为半径的圆，其标准方程为x2＋y2＝4.] 知识点2　点与圆的位置关系 (x－a)2＋(y－b)2＝r2(r＞0)，其圆心为C(a，b)，半径为r，点P(x0，y0)，设d＝|PC|＝. 位置关系 d与r的大小 图示 点P的坐标的特点 点在圆外 d＞r (x0－a)2＋(y0－b)2＞r2 点在圆上 d＝r (x0－a)2＋(y0－b)2＝r2 点在圆内 d＜r (x0－a)2＋(y0－b)2＜r2 3.已知点P(1，－1)在圆(x＋2)2＋y2＝m的内部，则实数m的取值范围是________． m＞10　[由条件知(1＋2)2＋(－1)2＜m，解得m＞10.] 类型1　求圆的标准方程 【例1】　求过点A(1，－1)，B(－1，1)，且圆心在直线x＋y－2＝0上的圆的标准方程． [解]　法一：设所求圆的标准方程为 (x－a)2＋(y－b)2＝r2， 由已知条件知 解此方程组，得 故所求圆的标准方程为(x－1)2＋(y－1)2＝4. 法二：设点C为圆心，∵点C在直线x＋y－2＝0上， ∴可设点C的坐标为(a，2－a). 又∵该圆经过A，B两点， ∴|CA|＝|CB|. ∴ ＝， 解得a＝1. ∴圆心坐标为C(1，1)，半径长r＝|CA|＝2. 故所求圆的标准方程为(x－1)2＋(y－1)2＝4. 法三：由已知可得线段AB的中点坐标为(0，0)， kAB＝＝－1， 所以弦AB的垂直平分线的斜率为k＝1， 所以AB的垂直平分线的方程为y－0＝1·(x－0)， 即y＝x.则圆心是直线y＝x与x＋y－2＝0的交点， 由得 即圆心为(1，1)，圆的半径为 r＝＝2， 故所求圆的标准方程为(x－1)2＋(y－1)2＝4. 确定圆的标准方程的方法 (1)几何法 利用图形的几何性质，如圆的性质等，直接求出圆的圆心和半径，代入圆的标准方程，从而得到圆的标准方程． (2)待定系数法 待定系数法是求圆的方程最常用的方法，一般步骤是： ①设—设所求圆的方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2； ②列—由已知条件，建立关于a，b，r的方程组； ③解—解方程组，求出a，b，r； ④代—将a，b，r代入所设方程，得所求圆的方程． [跟进训练] 1．已知圆C经过A(5，1)，B(1，3)两点，圆心在x轴上，则C的标准方程为________． (x－2)2＋y2＝10　[由圆的几何性质得，圆心在AB的垂直平分线上，结合题意知，AB的垂直平分线为y＝2x－4，令y＝0，得x＝2，故圆心坐标为(2，0)，所以圆的半径r＝＝，故圆的方程为(x－2)2＋y2＝10.] 类型2　圆的标准方程的实际应用 【例2】　一艘船在航行过程中发现前方的河道上有一座圆拱桥．在正常水位时，拱桥最高点距水面8 m，拱桥内水面宽32 m，船只在水面以上部分高6.5 m，船顶部宽8 m，故通行无阻，如图所示． (1)建立适当的平面直角坐标系，求正常水位时圆弧所在的圆的方程； (2)近日水位暴涨了2 m，船已经不能通过桥洞了