(讲义)1.5.1 平面上两点间的距离-【提分教练】2023-2024学年新教材高中数学选择性必修第一册(苏教版2019)

1.5　平面上的距离 1.5.1　平面上两点间的距离 1．了解平面上两点间的距离公式的推导方法．(重点) 2．掌握平面上两点间的距离公式、中点坐标公式及其应用．(难点) 3．初步掌握用坐标法研究几何问题．(重点、难点) 通过对平面上两点间的距离公式、中点坐标公式的学习，提升逻辑推理、数学运算、直观想象的数学素养． (1)如图所示，数轴上有两点x1＝－5，x2＝7，则两点间的距离|x1x2|是多少？ (2)如图所示，在直角三角形中，求直角三角形斜边的长度． (3)如图所示，点O与点P间的距离|OP|是多少？ 那么对于平面上任意两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，它们之间的距离|P1P2|是多少？ 知识点1　两点间的距离 (1)条件：点P1(x1，y1)，P2(x2，y2). (2)结论：|P1P2|＝. 1.思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)点P1(0，a)，点P2(b，0)之间的距离为a－b． (　　) (2)当A，B两点的连线与坐标轴平行或垂直时，两点间的距离公式不适用． (　　) (3)点P1(x1，y1)，点P2(x2，y2)，当两点连线所在直线平行于坐标轴时|P1P2|＝|x1－x2|． (　　) [答案]　(1)×　(2)×　(3)× 2.已知M(2，1)，N(－1，5)，则|MN|等于(　　) A．5 B． C． D．4 A　[|MN|＝＝5.] 3.直线y＝x上的两点P，Q的横坐标分别是1，5，则|PQ|等于(　　) A．4 B．4 C．2 D．2 B　[∵P(1，1)，Q(5，5)，∴|PQ|＝＝4.] 知识点2　中点坐标公式 一般地，对于平面上的两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，线段P1P2的中点是M(x0，y0)， 则 4.已知A(1，3)，B(－5，1)，那么线段AB的中点坐标是________． (－2，2)　[由中点坐标公式可得线段AB的中点坐标是(－2，2).] 类型1　两点间的距离 【例1】　如图，已知△ABC的三个顶点A(－3，1)，B(3，－3)，C(1，7)，试判断△ABC的形状． [思路探究]　求出△ABC的三边长，根据边长间的关系判断三角形的形状． [解]　法一：∵|AB|＝＝＝2， |AC|＝＝＝2， 又|BC|＝＝＝2， ∴|AB|2＋|AC|2＝|BC|2，且|AB|＝|AC|， ∴△ABC是等腰直角三角形． 法二：∵kAC＝＝，kAB＝＝－， ∴kAC·kAB＝－1，∴AC⊥AB. 又|AC|＝＝＝2， |AB|＝＝＝2， ∴|AC|＝|AB|，∴△ABC是等腰直角三角形． 计算两点间距离的方法 (1)对于任意两点P1(x1，y1)和P2(x2，y2)，则|P1P2|＝. (2)对于两点的横坐标或纵坐标相等的情况，可直接利用距离公式的特殊情况求解． [跟进训练] 1．已知点A(－1，2)，B(2，)，在x轴上求一点P，使|PA|＝|PB|，并求|PA|的值． [解]　设P(x，0)，|PA|＝， |PB|＝，∵|PA|＝|PB|， ∴＝， 解得x＝1，∴P(1，0)，∴|PA|＝＝2. 类型2　中点坐标公式及应用 【例2】　△ABC的两个顶点为B(2，1)，C(－2，3)，求BC边的垂直平分线的方程． [解]　因为B(2，1)，C(－2，3)，所以kBC＝＝－， 线段BC的中点坐标是，即(0，2)， 所以BC边的垂直平分线方程是y－2＝2(x－0)，整理得2x－y＋2＝0. 求线段的垂直平分线方程，要从两个方面思考，一是垂直，就是线段所在的直线与所求垂直平分线斜率之积等于－1，二是平分，即直线过线段的中点． [跟进训练] 2．若△ABC的顶点A(－5，0)，B(3，－2)，C(1，2)，则经过AB，BC两边中点的直线方程为(　　) A．3x－y－2＝0 B．x－3y－4＝0 C．x－3y－2＝0 D．3x－y－4＝0 C　[由题意，可得线段AB的中点为(－1，－1)，线段BC的中点为(2，0).因此所求直线方程为＝，即x－3y－2＝0.] 类型3　利用坐标法解决平面几何问题 [探究问题] 1．点P(x0，y0)到x轴的距离是什么？ [提示]　| y0|. 2．如何根据平面图形的形状建立平面直角坐标系？ [提示]　当平面图形中有一个角是直角时，可以以直角的顶点为原点建立坐标系；当平面图形为轴对称图形时，一般以平面图形的对称轴为y轴建立坐标系． 【例3】　已知在等腰梯形ABCD中，AB∥DC，对角线为AC和BD. 求证：|AC|＝|BD|. 如何证明|AC|＝|BD|? [提示]　建立平面直角坐标系，利用两点间的距离公式证明|AC|＝|BD|. [解]　如图所示，建立平面直角坐标系，设