(讲义)1.2.3 直线的一般式方程-【提分教练】2023-2024学年新教材高中数学选择性必修第一册(苏教版2019)

1.2.3　直线的一般式方程 1．掌握直线的一般式方程．(重点) 2．理解关于x，y的二元一次方程Ax＋By＋C＝0(A，B不同时为0)都表示直线．(重点、难点) 3．会进行直线方程的五种形式之间的转化．(难点、易混点) 通过学习直线五种形式的方程的相互转化，提升逻辑推理、直观想象和数学运算的核心素养． 初中我们学习过二元一次方程，它的具体形式是Ax＋By＋C＝0.前面我们又学习了直线方程的点斜式：y－y0＝k(x－x0)、斜截式：y＝kx＋b、两点式＝和截距式：＋＝1.它们都可以化成为二元一次方程的形式，同时在一定条件下，这种形式也可以转化为斜截式和截距式，我们把Ax＋By＋C＝0(A，B不同时为零)叫作直线的一般式，下面进入今天的学习． 知识点　直线的一般式方程 (1)定义：方程Ax＋By＋C＝0(A，B不全为0)叫作直线的一般式方程． (2)适用范围：平面直角坐标系中，任何一条直线都可用一般式表示． (3)系数的几何意义： ①当B≠0时，则－＝k(斜率)，－＝b(y轴上的截距)； ②当B＝0，A≠0时，则－＝a(x轴上的截距)，此时不存在斜率． 当A＝0或B＝0或C＝0时，方程Ax＋By＋C＝0分别表示什么样的直线？ [提示]　(1)若A＝0，则y＝－，表示与y轴垂直的一条直线． (2)若B＝0，则x＝－，表示与x轴垂直的一条直线． (3)若C＝0，则Ax＋By＝0，表示过原点的一条直线． 1.思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)直线的一般式方程可以表示平面内任意一条直线． (　　) (2)直线的其他形式的方程都可化为一般式． (　　) (3)关于x，y的二元一次方程Ax＋By＋C＝0(A，B不同时为0)一定表示直线． (　　) [答案]　(1)√　(2)√　(3)√ 2.已知直线2x＋ay＋b＝0在x轴、y轴上的截距分别为－1，2，则a，b的值分别为(　　) A．－1，2 B．－2，2 C．2，－2 D．－2，－2 A　[y＝0时，x＝－＝－1，解得b＝2，当x＝0时，y＝－＝－＝2，解得a＝－1.] 3.直线3x－y＋1＝0的倾斜角为________． 60°　[把3x－y＋1＝0化成斜截式得y＝x＋， ∴k＝，倾斜角为60°.] 类型1　直线的一般式方程与其他形式的互化 【例1】　(1)已知直线l的一般式方程为2x－3y＋6＝0，请把一般式方程写成为斜截式和截距式方程，并指出斜率和它在坐标轴上的截距． (2)根据下列各条件写出直线的方程，并且化成一般式． ①斜率是－，经过点A(8，－2)； ②经过点B(4，2)，平行于x轴； ③在x轴和y轴上的截距分别是，－3； ④经过两点P1(3，－2)，P2(5，－4). [解]　(1)由l的一般式方程2x－3y＋6＝0得斜截式方程为：y＝x＋2. 截距式方程为：＋＝1. 由此可知，直线l的斜率为，在x轴、y轴上的截距分别为－3，2. (2)①由点斜式得y－(－2)＝－(x－8)，即x＋2y－4＝0. ②由斜截式得y＝2，即y－2＝0. ③由截距式得＋＝1，即2x－y－3＝0. ④由两点式得＝，即x＋y－1＝0. 1．求直线一般式方程的方法 2．由直线方程的一般式转化为四种特殊形式时，一定要注意其运用的前提条件． [跟进训练] 1．根据下列条件分别写出直线的方程，并化为一般式方程． (1)斜率是且经过点A(5，3)； (2)经过A(－1，5)，B(2，－1)两点； (3)在x，y轴上的截距分别是－3，－1. [解]　(1)由点斜式方程可知，所求直线方程为y－3＝(x－5)，化为一般式方程为x－y＋3－5＝0. (2)由两点式方程可知，所求直线方程为＝，化为一般式方程为2x＋y－3＝0. (3)由截距式方程可得，所求直线方程＋＝1，化为一般式方程为x＋3y＋3＝0. 类型2　直线过定点问题 【例2】　求直线l: (m－1)x－y＋2m＋1＝0所过的定点的坐标． [解]　法一：直线l的方程可化为y－3＝(m－1)(x＋2)， 由直线的点斜式方程可知直线l过定点(－2，3). 法二：直线l的方程可化为m(x＋2)－(x＋y－1)＝0. 令解得 ∴直线l过定点(－2，3). 求直线过定点的基本方法：法一是点斜式的应用，法二是代数方法处理恒成立问题的基本思想． [跟进训练] 2．不论m为何值，直线3(m－1)x＋2(m＋1)y－12＝0过定点(　　) A． B． C． D． C　[整理直线方程3(m－1)x＋2(m＋1)y－12＝0得：m(3x＋2y)－＝0， 故直线3(m－1)x＋2(m＋1)y－12＝0过3x＋2y＝0与3x－2y＋12＝0的交点， 联立方程解得x＝－2，y＝3， 故直线3(m－1)x＋2(m＋1)y－12＝