(讲义)1.2.1 直线的点斜式方程-【提分教练】2023-2024学年新教材高中数学选择性必修第一册(苏教版2019)

1.2　直线的方程 1.2.1　直线的点斜式方程 1．了解直线方程的点斜式的推导过程．(难点) 2．掌握直线方程的点斜式并会应用．(重点) 3．掌握直线方程的斜截式，了解截距的概念．(重点、易错点) 通过对直线的点斜式方程的学习，培养逻辑推理、数学运算的数学素养． 斜拉桥又称斜张桥，桥身简约刚毅，力感十足．若以桥面所在直线为x轴，桥塔所在直线为y轴建立平面直角坐标系，那么斜拉索可看成过桥塔上同一点的直线． 已知某一斜拉索过桥塔上一点B，那么该斜拉索位置能确定吗？ 知识点1　直线的点斜式方程和斜截式方程 点斜式 斜截式 已知条件 点P(x1，y1)和斜率k 斜率k和直线在y轴上的截距b 图示 方程形式 y－y1＝k(x－x1) y＝kx＋b 适用条件 斜率存在 1.思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)直线的点斜式方程能表示平面上的所有直线． (　　) (2)＝k与y－y1＝k(x－x1)都是直线的点斜式方程． (　　) [答案]　(1)×　(2)× 2.直线l的点斜式方程是y－2＝3(x＋1)，则直线l的斜率是(　　) A．2 B．－1 C．3 D．－3 C　[由直线的点斜式方程可知直线l的斜率是3.] 3.过点(2，1)且与斜率为3的直线的点斜式方程为______． y－1＝3(x－2)　[因为直线的斜率为3，∴所求直线方程的点斜式方程为y－1＝3(x－2).] 知识点2　直线在y轴上的截距 在直线l的斜截式方程y＝kx＋b中，我们把直线l与y轴的交点(0，b)的纵坐标b称为直线l在y轴上的截距． 4.直线－＝1在y轴上的截距是(　　) A．|b| B．－b2 C．b2 D．±b B　[令x＝0，则y＝－b2.] 类型1　直线的点斜式方程 【例1】　(1)一条直线经过点(2，5)，倾斜角为45°，则这条直线的点斜式方程为________． (2)经过点(－5，2)且与y轴正方向的夹角为30°的直线方程为________． (1)y－5＝x－2　(2)y－2＝(x＋5)　[(1)因为倾斜角为45°， 所以斜率k＝tan 45°＝1， 所以直线的点斜式方程为y－5＝x－2. (2)因为直线与y轴正方向夹角为30°，所以直线的倾斜角为60°，所以斜率k＝tan 60°＝，所以直线的点斜式方程为y－2＝(x＋5).] 求直线的点斜式方程的步骤 提醒：斜率不存在时，过点P(x0，y0)的直线与x轴垂直，直线上所有点的横坐标相等，都为x0，故直线方程为x＝x0. [跟进训练] 1．分别求出经过点P(3，4)，且满足下列条件的直线方程，并画出图形． (1)斜率k＝2；(2)与x轴平行；(3)与x轴垂直． [解]　(1)由点斜式方程得 y－4＝2(x－3). (2)与x轴平行时，k＝0， ∴y－4＝0×(x－3)，即y＝4. (3)与x轴垂直，斜率不存在，方程为x＝3. 类型2　直线的斜截式方程 【例2】　根据条件写出下列直线的斜截式方程： (1)斜率为2，与y轴的交点坐标为(0，2)； (2)倾斜角为150°，在y轴上的截距是－2； (3)倾斜角为60°，与y轴的交点到坐标原点的距离为3. [解]　(1)由题意知直线在y轴上的截距为2，由直线的斜截式方程可知，所求直线方程为y＝2x＋2. (2)因为倾斜角α＝150°，所以斜率k＝tan 150°＝－，由斜截式可得直线方程为y＝－x－2. (3)因为直线的倾斜角为60°，所以斜率k＝tan 60°＝.因为直线与y轴的交点到坐标原点的距离为3，所以直线在y轴上的截距b＝3或b＝－3，故所求直线的斜截式方程为y＝x＋3或y＝x－3. 求直线的斜截式方程 (1)先求参数k和b，再写出斜截式方程． (2)斜率可以是已知的，也可以利用倾斜角来求出，还可以利用平行、垂直关系求出斜率． (3)b是直线在y轴上的截距，即直线与y轴交点的纵坐标，不是交点到原点的距离． [跟进训练] 2．已知直线l在y轴上的截距为－2，根据条件，分别写出直线l的斜截式方程． (1)直线l经过点M(m，n)，N(n，m)(m≠n)； (2)直线l与坐标轴围成等腰三角形． [解]　(1)由题意得直线l的斜率为k＝＝－1， 所以直线l的斜截式方程为y＝－x－2. (2)因为直线l在y轴上的截距为－2， 所以l与y轴的交点为P(0，－2)， 而直线l与坐标轴围成等腰三角形，又是直角三角形， 所以l与x轴的交点坐标为(－2，0)或(2，0). 由过两点的斜率公式得k＝－1或1， 所以直线l的斜截式方程为y＝－x－2或y＝x－2. 类型3　直线的方程的简单应用 【例3】　已知直线l的斜率为，且和两坐标轴围成面积为3的三角形，求l的斜截式方程．