5.1 任意角和弧度制（讲+练）-【高分突破系列】2023-2024学年高一数学同步知识点剖析精品讲义与分层练习（人教A版2019必修第一册）

任意角和弧度制 1 任意角 ① 角的定义与分类 角可以看成平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所成的图形. 如下图，一条射线的端点是，从起始位置按逆时针旋转到终止位置，形成角，射线分别是角的始边和终边. 逆时针旋转为正角，顺时针旋转为负角，不旋转为零角. ② 终边相等的角 与角终边相同的角的集合为 PS表达式中的不能漏！ ③ 象限角的概念 角的顶点与原点重合，角的始边与轴的非负半轴重合，终边落在第几象限，则称为第几象限角. PS 终边落在坐标轴上，不能称为象限角. 2 弧度制 ① 弧度的定义 弧长等于半径时，所对的圆心角为弧度的圆心角，记作. 即:半径为的圆中，弧长为的弧所对的圆心角为，那么 ② 角度与弧度的转化 ③ 特殊角的角度与弧度对应表 角度 弧度 ④ 弧长与扇形面积计算公式 弧长； 扇形面积，(为圆的半径) 注 为弧度制. 【题型一】角的集合表示及象限角的判定 【典题1】 已知集合锐角，小于的角，第一象限的角，下列说法： ，，，. 其中正确的是　 　． 【典题2】 如图，分别写出适合下列条件的角的集合： (1)终边落在射线上； (2)终边落在直线上； (3)终边落在阴影区域内(含边界)． 【典题3】弧度的角终边在第 象限. 【典题4】 若是第三象限的角，则可能是第 象限角. 巩固练习 1(★) 下下列命题正确的是(　　) A．与都是第四象限角 B．角是按顺时针方向旋转形成的 C．钝角都是第二象限角 D．小于90°的角都是锐角 2(★) 化成弧度是(　　) ．π ． 3(★) 若是第四象限角，则是(　　) A. 第一象限角 B. 第二象限角 C. 第三象限角 D. 第四象限角 4(★★) 设角和的终边关于轴对称，则有(　　) A． B． 5(★★)若角的终边与角的终边相同，则的终边所在象限是(　　) A.第二或第四象限 B. 第二或第三象限 C. 第一或第四象限 D. 第三或第四象限 6(★) 已知角，则与终边相同的最小正角是 ． 7(★★) 写出角的终边在下图中阴影区域内角的集合(包括边界) 8(★★) 已知角 (1)将改写成的形式，并指出是第几象限的角； (2)在区间上找出与终边相同的角． 【题型二】扇形的弧长及面积公式 【典题1】 已知的圆心角所对的弦长为，求这个圆心角所对的弧长． 【典题2】 已知一扇形的中心角是，所在圆的半径是． (1)若，，求扇形的弧所在的弓形面积； (2)若扇形的周长是一定值，当为多少弧度时，该扇形有最大面积？ 巩固练习 1 (★) 已知圆锥的全面积是底面积的3倍，那么该圆锥的侧面展开图扇形的圆心角为(　　) 2 (★) 如果弓形的弧所对的圆心角为，弓形的弦长为，则弓形的面积是(　　) ． ． ． ． 3 (★★) 已知圆与直线相切于点，点同时从点出发，沿着直线l向右、沿着圆周按逆时针以相同的速度运动，当运动到点时，点也停止运动，连接(如图)，则阴影部分面积的大小关系是(　　) ，再，最后 4(★★) 已知扇形的周长为，当该扇形面积取得最大值时，圆心角为(　　) 5 (★★) 中国扇文化有着深厚的文化底蕴，文人雅士喜在扇面上写字作画．如图，是书画家唐寅的一幅书法扇面，其尺寸如图所示，则该扇面的面积为　 　． 6(★★) 已知圆锥的侧面展开图是一个半径为，圆心角为的扇形，则此圆锥的高为　 　． 7 (★) 若扇形的面积是，它的周长是，求扇形圆心角的弧度数． 8(★★) 已知扇形的圆心角为，周长为． (1)若这个扇形面积为，且为锐角，求的大小； (2)求这个扇形的面积取得最大值时圆心角的大小和弦长． 挑战学霸 河南大学自招真题 我们知道当点时，闹钟的个指针完全重合，请说出除了点外，是否还有其他时间，针完全重合.如有请举出；若无，给出理由. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！7 学科网（北京）股份有限公司 $$ 任意角和弧度制 1 任意角 ① 角的定义与分类 角可以看成平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所成的图形. 如下图，一条射线的端点是，从起始位置按逆时针旋转到终止位置，形成角，射线分别是角的始边和终边. 逆时针旋转为正角，顺时针旋转为负角，不旋转为零角. ② 终边相等的角 与角终边相同的角的集合为 PS表达式中的不能漏！ ③ 象限角的概念 角的顶点与原点重合，角的始边与轴的非负半轴重合，终边落在第几象限，则称为第几象限角. PS 终边落在坐标轴上，不能称为象限角. 2 弧度制 ① 弧度的定义