5.7 函数y=Asin(ωx+φ)的图像和性质（讲+练）-【高分突破系列】2023-2024学年高一数学同步知识点剖析精品讲义与分层练习（人教A版2019必修第一册）

函数的图像和性质 1 性质 (1) 简谐运动可用函数，表示， 是振幅，周期，频率 ，相位，初相. (2) 对的影响 影响函数的最值，影响周期，影响函数水平位置. 2 函数的变换 (1) 平移变换 ① 将图像沿轴向左(右)平移个单位(左加右减)； ②将图像沿轴向上(下)平移个单位(上加下减). PS 向左平移个单位，得到的函数不是， 而是. (2) 伸缩变换 ① 将图像横坐标不变，纵坐标伸长到原来的倍(伸长，缩短). ② 将图像纵坐标不变，横坐标缩到原来的倍(缩短，伸长)； 问题 怎么理解呢？例：若将图像纵坐标不变，横坐标缩到原来的倍，那得到的函数是呢？ 解析 我们把的图象想象成一条弹簧，若纵坐标不变，横坐标缩到原来的倍，那说明弹簧被压缩了，则周期变小，会变大(与成反比，即变换后的函数应该是.   【题型一】函数图象的变换 【典题1】 将函数的图象上的点的横坐标缩短为原来的倍，再向右平移个单位得到函数的图象，则下列说法正确的是(　　) ．函数的最小正周期为 ．函数的单调递增区间为 ．函数的图象有一条对称轴为 ．函数的图象有一个对称中心为 巩固练习 1(★) 为了得到函数的图象，只需把函数的图象(　　) ．向左平移个单位长度 ．向右平移个单位长度 ．向左平移个单位长度 ．向右平移个单位长度 2(★) 已知函数将的图象上的每一点的纵坐标保持不变，横坐标变为原来的倍，然后把所得的图象沿着 轴向左平移个单位，这样得到的是的图象，那么函数的解析式是( ) 3(★) 将函数的图像向左平移个单位长度后得到曲线，若关于轴对称，则的最小值是(　　) ． ． ． ． 4(★★) 将函数的图象向左平移个单位长度，则所得函数(　　) ．是奇函数 ．其图象以为一条对称轴 ．其图象以为一个对称中心 ．在区间上为单调递减函数 5(★★) 将函数的图象上的点的横坐标缩短为原来的倍，再向右平移个单位得到函数的图象，则下列说法正确的是(　　) ．函数的最小正周期为 ．函数的单调递增区间为 ．函数的图象有一条对称轴为 ．函数的图象有一个对称中心为 【题型二】由函数的部分图象求解析式 【典题1】 已知函数的部分图象如图所示，下述四个结论：①；②；③是奇函数；④是偶函数中，其中所有正确结论的编号是 . 【典题2】 已知函数，， 且上单调，则函数的解析式是 . 巩固练习 1(★) 函数的部分图象如图所示，则(　　) ． ． ． ． 2(★) 已知函数的部分图象如图所示，则(　　) ． ． ． 3(★) 已知函数的部分图象如图所示，点，，则下列说法中错误的是(　　) ．直线是图象的一条对称轴 ．的图象可由向左平移个单位而得到 的最小正周期为 在区间(，)上单调递增 4(★★) 如图，函数与坐标轴的三个交点满足，，为的中点，，则的值为 . 5 (★★) 函数的最大值为，其图象相邻两条对称轴之间的距离为． (1)求函数的解析式； (2)设，求的值． 6 (★★★) 已知函数的部分图象如图所示． (1)求的解析式； (2)求的单调递增区间和对称中心坐标； (3)将的图象向左平移个单位，再讲横坐标伸长到原来的倍，纵坐标不变，最后将图象向上平移个单位，得到函数的图象，求函数在上的最大值和最小值． 【题型三】三角函数模型的简单应用一 【典题1】已知函数． (1)求的最小值并写出此时的取值集合； (2)若，求出的单调减区间. 【典题2】已知函数． (1)当时，求函数的单调减区间； (2)设方程在内有两个相异的实数根、，求实数的取值范围及的值； (3)若对任意实数，恒成立，求实数的取值范围． 巩固练习 1(★★) 已知函数． (1)求的最小正周期；[源&(2)求在区间上的最大值和最小值． 2(★★) 已知函数的最小正周期为． (1)若，求的值． (2)若方程在上有两个不等的实根，求的取值范围． 3(★★★) 已知函数为奇函数，且图象的相邻两对称轴间的距离为． (1)求的解析式与单调递减区间； (2)将函数的图象向右平移个单位长度，再把横坐标缩小为原来的(纵坐标不变)，得到函数的图象，当时，求函数的值域． 4(★★★) 已知函数，其中． (1)求使的的取值范围； (2)若函数，且对任意的，恒有成立，求实数的最大值． 【题型四】三角函数模型的简单应用二 【典题1】 如图，一个水轮的半径为，水轮轴心距离水面的高度为，已知水轮按逆时针匀速转动，每分钟转动圈，当水轮上点从水中浮现时的起始(图中点)开始计时，记为点距离水面的高度关于时间的函数，则下列结论正确的是