(练习)课时分层作业12 从函数观点看一元二次方程-【提分教练】2023-2024学年新教材高中数学必修第一册(苏教版2019)

课时分层作业(十二)　从函数观点看一元二次方程 一、选择题 1．函数y＝x2－(a＋1)x＋a的零点的个数是(　　) A．1 B．2 C．1或2 D．0 C　[由x2－(a＋1)x＋a＝0得x1＝a，x2＝1，当a＝1时，函数的零点为1个；当a≠1时，函数的零点有2个，所以该函数的零点的个数是1或2．] 2．函数y＝ax2＋bx＋c (a≠0)的零点为－2和3，那么函数y＝cx2－bx＋a的零点为(　　) A．－和 B．和－ C．－3和2 D．无法确定 A　[由题意知，－2＋3＝－，－2×3＝， ∴b＝－a，c＝－6a，由cx2－bx＋a＝0得－6ax2＋ax＋a＝0，即6x2－x－1＝0，解得x1＝－，x2＝，故选A．] 3．关于x的函数y＝ x2－2ax－8a2 (a>0)的两个零点为x1, x2，且x2－x1＝15，则a＝(　　) A． B． C． D． A　[由条件知x1，x2为方程x2－2ax－8a2＝0的两根，则x1＋x2＝2a，x1x2＝－8a2． 由(x2－x1)2＝(x1＋x2)2－4x1x2＝(2a)2－4×(－8a2)＝36a2＝152，解得a＝．故选A．] 4．(多选题)已知函数y＝x2－6x＋5－m的两个零点都大于2，实数m的可能取值为(　　) A．－5 B．－ C．－ D．－3 BC　[x2－6x＋5－m＝0的两根都大于2，则二次函数y＝x2－6x＋5－m的图象与x轴的两个交点都在x＝2的右侧，根据图象得：方程的判别式Δ>0．当x＝2时函数值y>0，函数对称轴x＝3>2，即解得－4<m<－3．] 5．(多选题)已知关于x的函数y＝x2＋kx＋k＋4＝0有两个零点，且一个大于2，一个小于2，则实数k的可能取值为(　　) A．－2 B．－3 C．－4 D．－5 BCD　[由题意知函数的两个零点分别在2的左右两侧．由图象知当x＝2时对应的函数值y<0，即4＋2k＋k＋4<0，所以k<－．] 二、填空题 6．若函数y＝x2－ax＋a的两个零点分别为m，n，则＋＝________． 1　[因为函数y＝x2－ax＋a的两个零点分别为m，n，所以m，n是方程x2－ax＋a＝0的两个不相等的实数根，由根与系数的关系得 所以＋＝＝1．] 7．若函数y＝(ax＋1)(x＋2)的唯一零点为－2，则实数a的取值集合为________． 　[当a＝0时，由y＝0得x＝－2符合题意，当a≠0时，由y＝0得x1＝－2，x2＝－，因为函数y＝(ax＋1)(x＋2)的唯一零点为－2，所以－＝－2，即a＝，所以实数a的取值集合为．] 8．函数y＝x2＋3x＋m有唯一一个零点，则m的取值为________，若函数有两个负的零点，则m的取值范围为________． 　　[因为y＝x2＋3x＋m有唯一零点，所以方程x2＋3x＋m＝0有两个相等的实根．所以Δ＝9－4m＝0，所以m＝． 若y＝x2＋3x＋m的两个零点都是负数，所以解得0<m<．] 三、解答题 9．求下列函数的零点． (1) y＝x－2－3； (2) y＝x2－(3a－1)x＋(2a2－2)． [解]　(1)由x－2－3＝0得(＋1)(－3)＝0， 又≥0，所以＝3，即x＝9， 所以函数y＝x－2－3的零点为9． (2)由x2－(3a－1)x＋(2a2－2) ＝0得 [x－(a＋1)][x－2(a－1)]＝0， ①当a＋1＝2(a－1)，即a＝3时，函数有唯一零点4； ②当a＋1≠2(a－1)，即a≠3时，函数有两个零点a＋1和2(a－1)． 10．求证：函数y＝x2－ax－a－2(a∈R)一定有两个零点． [证明]　法一：对于一元二次方程x2－ax－a－2＝0，Δ＝a2＋4a＋8＝(a＋2)2＋4>0， 所以函数y＝x2－ax－a－2(a∈R)一定有两个零点． 法二：因为函数y＝x2－ax－a－2(a∈R)的图象为开口向上的抛物线， 无论a为任何实数，x＝－1时，y＝(－1)2＋a－a－2＝－1，即函数的图象始终经过点M(－1，－1)， 所以函数y＝x2－ax－a－2(a∈R)一定有两个零点． 11．(多选题)对于函数y＝ax2－x－2a，下列说法中正确的是(　　) A．函数一定有两个零点 B．a>0时，函数一定有两个零点 C．a<0时，函数一定有两个零点 D．函数的零点个数是1或2 BCD　[当a＝0时，由y＝0得x＝0，函数有一个零点；当a≠0时，相应方程ax2－x－2a＝0中Δ＝1＋8a2>0，所以函数一定有两个零点，所以A选项错误，故选BCD．] 12．如图是二次函数y＝ax2＋bx＋c图象的一部分，图象过点A(－3,0)，对称轴为x＝－1．给出下面四个结论：①b