(练习)课时分层作业11 基本不等式的应用-【提分教练】2023-2024学年新教材高中数学必修第一册(苏教版2019)

课时分层作业(十一)　基本不等式的应用 一、选择题 1．若a＞1，则a＋的最小值是(　　) A．2 B．a C． D．3 D　[∵a＞1，∴a－1＞0，∴a＋＝a－1＋＋1≥2＋1＝3．] 2．已知f(x)＝x＋－2(x<0)，则f(x)有(　　) A．最大值为0 B．最小值为0 C．最大值为－4 D．最小值为－4 C　[∵x<0，∴f(x)＝－－2≤－2－2＝－4，当且仅当－x＝，即x＝－1时取等号．] 3．已知a＞0，b＞0，ab＝1，且m＝b＋，n＝a＋，则m＋n的最小值是(　　) A．3 B．4 C．5 D．6 B　[由题意知ab＝1，∴m＝b＋＝2b，n＝a＋＝2a，∴m＋n＝2(a＋b)≥4＝4，当且仅当a＝b＝1时取等号．] 4．已知正数x，y满足＋＝1，则x＋2y的最小值是(　　) A．18 B．16 C．8 D．10 A　[x＋2y＝(x＋2y)＝10＋＋≥10＋2＝18，当且仅当＝，即x＝4y＝12时，等号成立．] 5．(多选题)已知a>0，b>0，＋＝，若不等式2a＋b≥9m恒成立，则m的可能取值为(　　) A．8 B．7 C．6 D．5 CD　[由已知，可得6＝1， ∴2a＋b＝6×(2a＋b) ＝6≥6×(5＋4)＝54， 当且仅当＝时，即a＝b＝18等号成立， ∴9m≤54，即m≤6，故选CD．] 二、填空题 6．已知x＞0，y＞0，且x＋y＝8，则(1＋x)(1＋y)的最大值为________． 25　[(1＋x)(1＋y)≤2 ＝＝＝25， 因此当且仅当1＋x＝1＋y，即x＝y＝4时， (1＋x)(1＋y)取最大值25．] 7．为净化水质，向一个游泳池加入某种化学药品，加药后池水中该药品的浓度C(单位：mg·L－1)随时间t(单位：h)的变化关系为C＝，则经过________h后池水中该药品的浓度达到最大． 2　[C＝＝． 因为t>0，所以t＋≥2＝4 ． 所以C＝≤＝5，当且仅当t＝， 即t＝2时，C取得最大值．] 8．如图，有一张单栏的竖向张贴的海报，它的印刷面积为72 dm2(图中阴影部分)，上下空白各宽2 dm，左右空白各宽1 dm，则四周空白部分面积的最小值是________dm2． 56　[设阴影部分的高为x dm，则宽为 dm，四周空白部分的面积是y dm2． 由题意，得y＝(x＋4)－72 ＝8＋2≥8＋2×2＝56(dm2)． 当且仅当x＝，即x＝12 dm时等号成立．] 三、解答题 9．已知a>b>0，求a2＋的最小值． [解]　∵a>b>0， ∴b(a－b)≤＝， ∴a2＋≥a2＋≥16． 当且仅当即时取等号． 故a2＋的最小值为16． 10．为了改善居民的居住条件，某城建公司承包了棚户区改造工程，按合同规定在4个月内完成．若提前完成，则每提前一天可获2 000元奖金，但要追加投入费用；若延期完成，则每延期一天将被罚款5 000元．追加投入的费用按以下关系计算：6x＋－118(千元)，其中x表示提前完工的天数，试问提前多少天，才能使公司获得最大附加效益？(附加效益＝所获奖金－追加费用) [解]　设城建公司获得的附加效益为y千元，由题意得 y＝2x－＝118－ ＝118－ ＝130－ ≤130－2＝130－112＝18(千元)， 当且仅当4(x＋3)＝，即x＝11时取等号． 所以提前11天，能使公司获得最大附加效益． 11．(多选题)已知不等式(x＋my)≥9对任意正实数x，y恒成立，则正实数m的值可以是(　　) A．3 B．4 C．5 D．6 BCD　[因为x>0，y>0，m>0， 所以(x＋my)·＝1＋m＋＋≥1＋m＋2． 因为(x＋my)≥9对任意正实数x，y恒成立． 所以1＋m＋2≥9，解得≥2．即m≥4．结合选项知，BCD符合题意.] 12．若a>0，b>0,3a＋b＝1，则＋的最小值为(　　) A．8 B．7 C．6 D．5 A　[∵a>0，b>0,3a＋b＝1， ∴＋＝＋＝3＋＋＋1≥4＋2＝8，当且仅当＝，即a＝，b＝时取等号， ∴＋的最小值为8．] 13．当3<x<12时，函数y＝的最大值为________． 3　[y＝＝ ＝－＋15≤－2＋15＝3， 当且仅当x＝，即x＝6时，ymax＝3．] 14．某汽车运输公司购买一批豪华大客车投入营运，据市场分析，每辆车营运的总利润y(单位：10万元)与营运年数x(x∈N*)满足关系y＝－x2＋12x－25，则每辆客车营运________年时，年平均利润最大．最大为________万元． 5　2　[∵y＝－x2＋12x－25， ∴年平均利润为＝ ＝－＋