(练习)课时分层作业10 基本不等式的证明-【提分教练】2023-2024学年新教材高中数学必修第一册(苏教版2019)

课时分层作业(十)　基本不等式的证明 一、选择题 1．下列不等式中正确的是(　　) A．a＋≥4 B．a2＋b2≥4ab C．≥ D．x2＋≥2 D　[a<0，则a＋≥4不成立，故A错； a＝1，b＝1，a2＋b2<4ab，故B错； a＝4，b＝16，则<，故C错； 由基本不等式可知D项正确．] 2．(多选题)已知a>0，b>0，则下列不等式中正确的是(　　) A．ab≤ B．ab≤ C．≥ D．≤ ABC　[由基本不等式知A、B、C正确，由≥ab得，ab≤，∴≥．] 3．若a，b∈R且ab>0，则下列不等式中恒成立的是(　　) A．a2＋b2>2ab B．a＋b≥2 C．＋> D．＋≥2 D　[∵a2＋b2－2ab＝(a－b)2≥0，∴A错误； 对于B，C，当a<0，b<0时，显然错误； 对于D，∵ab>0，∴＋≥2＝2， 当且仅当a＝b＝1时，等号成立．] 4．若0<a<b且a＋b＝1，则下列四个数中最大的是(　　) A． B．a2＋b2 C．2ab D．a B　[a2＋b2＝(a＋b)2－2ab≥(a＋b)2－2＝， a2＋b2－2ab＝(a－b)2≥0，∴a2＋b2≥2ab． ∵0<a<b且a＋b＝1，∴a<，∴a2＋b2最大．] 5．当x＞0时，f(x)＝的最大值为(　　) A． B．1 C．2 D．4 B　[∵x＞0，∴f(x)＝＝≤＝1， 当且仅当x＝，即x＝1时取等号．故选B．] 二、填空题 6．已知a>b>c，则与的大小关系是________． ≤　[∵a>b>c， ∴a－b>0，b－c>0， ∴≤＝．] 7．某工厂第一年的产量为A，第二年的增长率为a，第三年的增长率为b，则这两年的平均增长率x与增长率的平均值的大小关系为________． x≤　[用两种方法求出第三年的产量分别为 A(1＋a)(1＋b)，A(1＋x)2， 则有(1＋x)2＝(1＋a)(1＋b)． ∴1＋x＝≤＝1＋， ∴x≤．当且仅当a＝b时等号成立．] 8．若x＞1，则的最小值为________，取得最小值时x＝________． 7　4　[若x＞1，则＝x＋＝x－1＋＋1≥2＋1＝7， 当且仅当x－1＝，即x＝4时，等号成立， 因此当x＝4时，取得最小值7．] 三、解答题 9．已知a>b>c，求(a－c)的最小值． [解]　(a－c) ＝(a－b＋b－c) ＝1＋1＋＋． ∵a>b>c，∴a－b>0，b－c>0， ∴2＋＋≥2＋2＝4， 当且仅当a－b＝b－c，即2b＝a＋c时取等号， ∴(a－c)的最小值为4． 10．已知a，b，c为正数，求证：＋＋≥3． [证明]　左边＝＋－1＋＋－1＋＋－1 ＝＋＋－3． ∵a，b，c为正数， ∴＋≥2(当且仅当a＝b时取“＝”)； ＋≥2(当且仅当a＝c时取“＝”)； ＋≥2(当且仅当b＝c时取“＝”)． 从而＋＋≥6(当且仅当a＝b＝c时取等号)． ∴＋＋－3≥3， 即＋＋≥3． 11．(多选题)下列函数中，最小值是2的有(　　) A．y＝x＋ B．y＝＋ C．y＝x2＋＋4 D．y＝(x＞0) BD　[A．x<0时，y<0，无最小值． B．y＝＋≥2，当且仅当x＝2时取等号，正确． C．y＝x2＋＋4≥2＝2，当且仅当x2＋4＝时，等号成立，显然不可能取到，故选项C不正确； D．y＝＝x＋1＋≥2，当且仅当x＝－1时取等号，正确．] 12．已知a>b>1且b＝，则a＋的最小值为(　　) A．3 B．4 C．5 D．6 A　[因为a>b>1且b＝，所以a＋＝a＋＝a－1＋＋1≥2＋1＝3，当且仅当a－1＝，即a＝2时等号成立．此时最小值为3．] 13．若实数a，b满足＋＝，则ab的最小值为________． 2　[因为＋＝，所以a>0，b>0， 由＝＋≥2＝2， 所以ab≥2(当且仅当b＝2a时取等号)， 所以ab的最小值为2．] 14．已知a，b是正实数，且a＋2b－3ab＝0，则ab的最小值是________，a＋b的最小值是________． 　1＋　[①因为a，b是正实数，且a＋2b－3ab＝0， 所以3ab＝a＋2b≥2， 所以≥或≤0(舍)， 所以ab≥，所以ab的最小值为； ②由a，b是正实数，且a＋2b－3ab＝0，可得＝1， 所以a＋b＝(a＋b)＝≥＝1＋， 当且仅当＝，即a＝，b＝， 所以a＋b的最小值为1＋．] 15．若0<x<，求x的最大值． [解]　由x＝ ＝ ＝≤×＝， 当且仅当4x2＝1－4x2，即x2＝， x＝时取“＝”，故x的最大值为． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$