(练习)课时分层作业8 全称量词命题与存在量词命题-【提分教练】2023-2024学年新教材高中数学必修第一册(苏教版2019)

课时分层作业(八)　全称量词命题与存在量词命题 一、选择题 1．(多选题)下列命题中是真命题的是(　　) A．∃x∈R，|x|>0 B．∃x∈R，x＋1>2 C．∀x∈R，x2>0 D．∀x∈R，x2＋1>0 ABD　[当x＝0时x2＝0，故C项为假命题．] 2．下列命题中是存在量词命题的是(　　 ) A．∀x∈R，x2＞0 B．∃x∈R，x2≤0 C．平行四边形的对边平行 D．矩形的任一组对边相等 B　[A含有全称量词∀，为全称量词命题；B含有存在量词∃，为存在量词命题，满足条件；C省略了全称量词所有，为全称量词命题；D省略了全称量词所有，为全称量词命题，故选B．] 3．已知命题p：∀x∈R，x3－x－1＞0，则p是(　　) A．∀x∈R，x3－x－1＜0 B．∃x∈R，x3－x－1≤0 C．∃x∈R，x3－x－1＜0 D．∀x∈R，x3－x－1≤0 B　[因为全称量词命题的否定是存在量词命题，所以命题p：∀x∈R，x3－x－1＞0，则p：∃x∈R，x3－x－1≤0．故选B．] 4．以下四个命题既是存在量词命题又是真命题的是(　　) A．锐角三角形的内角是锐角或钝角 B．至少有一个实数x，使x2≤0 C．两个无理数的和必是无理数 D．存在一个负数x，使>2 B　[A中锐角三角形的内角是锐角或钝角是全称量词命题；B中x＝0时，x2＝0，所以B既是存在量词命题又是真命题；C中因为＋(－)＝0，所以C是假命题；D中对于任一个负数x，都有<0，所以D是假命题．] 5．(多选题)已知命题p：∃x>0，x＋a－1＝0，若p为假命题，则a的值可能为(　　) A．0 B．1 C．－1 D．2 BD　[∵p为假命题，∴p是真命题，即∀x>0，x＋a－1≠0， 即x≠1－a，∴1－a≤0，即a≥1，∴B、D均正确．] 二、填空题 6．命题“存在实数x，y，使得x＋y＞1”是______(填“全称量词命题”或“存在量词命题”)，用符号表示为________． 存在量词命题　∃x，y∈R，x＋y＞1　[命题“存在实数x，y，使得x＋y＞1”是存在量词命题，用符号表示为：“∃x，y∈R，x＋y＞1”．] 7．命题“任意一个x∈R，都有x2－2x＋4≤0”的否定是______． 存在一个x∈R，使得x2－2x＋4＞0　[原命题为全称量词命题，其否定为存在量词命题，既要否定量词又要否定结论，所以其否定为：存在一个x∈R，使得x2－2x＋4＞0．] 8．若“∀x∈R，x2＋4x≥m”是真命题，则实数m的取值范围为________． {m|m≤－4}　[由题意，y＝x2＋4x＝(x＋2)2－4的最小值为－4，所以m≤－4．] 三、解答题 9．判断下列命题的真假，并写出这些命题的否定： (1)三角形的内角和为180°； (2)每个二次函数的图象都开口向下； (3)存在一个四边形不是平行四边形． [解]　(1)是全称量词命题且为真命题．命题的否定：三角形的内角和不全为180°，即存在一个三角形的内角和不等于180°． (2)是全称量词命题且为假命题．命题的否定：存在一个二次函数的图象开口不向下． (3)是存在量词命题且为真命题． 命题的否定：所有的四边形都是平行四边形． 10．写出下列命题的否定，并判断其真假： (1)p：∀m∈R，方程x2＋x－m＝0必有实根； (2)q：有些梯形的对角线相等． [解]　(1)p：∃m∈R，方程x2＋x－m＝0无实数根． 由于当m＝－1时，方程x2＋x－m＝0的根的判别式Δ＜0，∴方程x2＋x－m＝0无实数根，故其是真命题． (2)q：∀x∈{梯形}，x的对角线不相等，如等腰梯形对角线相等，故其是假命题． 11．下列命题中正确的个数是(　　) ①∃x∈R，x≤0； ②∃x∈N，≤x； ③∃x∈{x|x是无理数}，x2是无理数． A．0 B．1 C．2 D．3 D　[①∃x∈R，x≤0，正确；②∃x＝4∈N，且＝2＜4，正确；③∃x∈{x|x是无理数}，x2是无理数，正确，例如x＝π．综上可得①②③都正确．故选D．] 12．(多选题)下列命题的否定是假命题的是(　　) A．p1：每一个合数都是偶数 B．p2：两条平行线被第三条直线所截内错角相等 C．p3：有些实数的绝对值是正数 D．p4：某些平行四边形是菱形 BCD　[若判断某命题的否定的真假，只要判断出原命题的真假即可得解，它们的真假性始终相反．因p1为全称量词命题，且是假命题，则p1是真命题．命题p2，p3，p4均为真命题，即p2，p3，p4均为假命题．] 13．命题“∀x＞0，都有x2－x＋3≤0”的否定是________． ∃x＞0，使得x2－x＋3＞0　[命题“∀x＞0，都有x2－x＋3