(讲义)第3章 不等式 章末综合提升-【提分教练】2023-2024学年新教材高中数学必修第一册(苏教版2019)

类型1　一元二次不等式的解法 一元二次不等式的解法是本章重要内容，是后续学习的基础和保障．常与集合实际应用、方程等交汇命题．主要考查学生的数学运算能力和逻辑推理以及数学建模能力，对于不含参的一元二次不等式的解法常转化为ax2＋bx＋c>0(a>0)或ax2＋bx＋c<0(a>0)的形式结合二次函数的图象求解．对于含参的一元二次不等式应先看二次项系数的正负，其次考虑判别式，最后分析两根的大小分类讨论． 【例1】　若不等式组的整数解只有－2，求k的取值范围． [思路点拨]　不等式组的解集是各个不等式解集的交集，分别求解两个不等式，取交集判断． [解]　由x2－x－2>0，得x<－1或x>2． 对于方程2x2＋(2k＋5)x＋5k＝0有两个实数解x1＝－，x2＝－k． (1)当－>－k，即k>时，不等式的解集为，显然－2． (2)当－k＝－时，不等式2x2＋(2k＋5)x＋5k<0的解集为∅． (3)当－<－k，即k<时， 不等式的解集为． ∴不等式组的解集由 或确定． ∵原不等式组整数解只有－2， ∴－2<－k≤3， 故所求k的范围是－3≤k<2． 类型2　不等式恒成立问题 不等式恒成立问题是不等式的重要内容，也是数学中的重要内容．常与二次函数及函数图象相结合命题．对于不等式恒成立求参数范围的问题常见类型及解题策略有以下几类． (1)变更主元法 根据实际情况的需要确定合适的主元，一般知道取值范围的变量要看作主元． (2)分离参数法 先将参数与变量分离到等式两边，转化为相关函数得最值问题． (3)数形结合法 利用不等式与函数的关系将恒成立问题通过函数图象直观化． 【例2】　已知不等式mx2－mx－1<0． (1)若x∈R时不等式恒成立，求实数m的取值范围； (2)若x∈[1,3]时不等式恒成立，求实数m的取值范围． [解]　(1)①若m＝0，原不等式可化为－1<0，显然恒成立； ②若m≠0，则不等式mx2－mx－1<0 恒成立⇔解得－4<m<0． 综上可知，实数m的取值范围是(－4,0]． (2)令y＝mx2－mx－1， ①当m＝0时，y＝－1<0显然恒成立； ②当m>0时，若对于x∈[1,3]不等式恒成立，只需当x＝1时，y<0，即y＝－1<0；当x＝3时，y<0，即y＝9m－3m－1<0，解得m<，∴0<m<． ③当m<0时，函数f(x)的图象开口向下，对称轴为x＝，若x∈[1,3]时不等式恒成立，结合函数图象(图略)知只需当x＝1时，函数y<0即可，解得m∈R，∴m<0符合题意． 综上所述，实数m的取值范围是． 类型3　利用基本不等式求最值 基本不等式是不等式部分的重要内容，其主要应用是求函数的最值或范围．既适用于一个变量情况，也适用于两个变量情况．基本思路为创设应用不等式的条件，合理拆分项或凑配因式是常用的解题技巧．而拆与凑的目的在于使等号能够成立． 【例3】　设x<－1，求y＝的最大值． [解]　∵x<－1，∴x＋1<0，∴－(x＋1)>0， y＝＝＝ ＝(x＋1)＋＋5＝－＋5≤－2＋5＝1． 当且仅当(x＋1)2＝4即x＝－3时取“＝”． ∴y＝的最大值为1． 学科网（北京）股份有限公司 $$