(讲义)7.1.2 弧度制-【提分教练】2023-2024学年新教材高中数学必修第一册(苏教版2019)

7.1.2　弧度制 1．了解弧度制的含义和引入弧度制的意义． 2．会进行弧度与角度的互化．(重点、难点) 3．掌握弧度制下扇形的弧长公式和面积公式．(难点、易错点) 1．通过对弧度制概念的学习，培养数学抽象素养． 2．借助弧度制与角度制的换算，提升数学运算素养． 在初中，我们是如何求一个扇形的弧长的？在弧长公式中，角α是如何度量的？度量的单位是什么？它的1个单位是怎么定义的？用这种单位制来度量角叫作什么制？除了上面用“度”作为单位来度量角的角度外，我们有没有其他的方式来度量角呢？ 知识点1　弧度制的概念 (1)角度制：规定周角的为1度的角，用度作为单位来度量角的单位制叫作角度制． (2)弧度制：把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫作1弧度的角，记作1 rad，用弧度作为角的单位来度量角的单位制称为弧度制． 1．“1弧度的角”的大小和所在圆的半径大小有关系吗？ [提示]　“1弧度的角”是一个定值，与所在圆的半径大小无关． 2．比值与所取的圆的半径大小是否有关？ [提示]　一定大小的圆心角α所对应的弧长与半径的比值是唯一确定的，与半径大小无关． 1．思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)大圆中1弧度角比小圆中1弧度角大． (　　) (2)圆心角为1弧度的扇形的弧长都相等． (　　) (3)长度等于半径的弦所对的圆心角是1弧度． (　　) [答案]　(1)×　(2)×　(3)× 知识点2　角度制与弧度制的换算 (1)角度制与弧度制的换算 角度化弧度 弧度化角度 360°＝2π rad 2π rad＝360° 180°＝π rad π rad＝180° 1°＝rad≈0.017 45 rad 1 rad＝度≈57.30° (2)一些特殊角的度数与弧度数的对应关系 角度 0° 1° 30° 45° 60° 90° 弧度 0 角度 120° 135° 150° 180° 270° 360° 弧度 π 2π (3)任意角的弧度数与实数的对应关系 正角的弧度数是正数，负角的弧度数是负数，零角的弧度数是0． 3．角度制与弧度制之间如何进行换算？ [提示]　利用1°＝rad≈0.017 45 rad和1 rad＝≈57.30°进行弧度与角度的换算． 2．将下列弧度与角度互化． (1)化为角度为________； (2)105°化为弧度为________． (1)252°　(2)　[(1)π＝＝252°． (2)105°＝105× rad＝ rad．] 知识点3　扇形的弧长公式及面积公式 (1)弧度制下的弧长公式： 如图，l是圆心角α所对的弧长，r是半径，则圆心角α的弧度数的绝对值是|α|＝，弧长l＝|α|r．特别地，当r＝1时，弧长l＝|α|． (2)扇形面积公式： 在弧度制中，若|α|≤2π，则半径为r，圆心角为α的扇形的面积为S＝·πr2＝lr． (3)引入弧度制的意义 角的概念推广以后，在弧度制下，角的集合与弧度数的集合之间建立起一一对应关系，即角的集合与实数集R之间建立起一一对应关系：每一个角都对应唯一的一个实数；反过来，每一个实数也都对应唯一的一个角． 3．半径为1，圆心角为的扇形的弧长为______，面积为________． 　　[∵α＝，r＝1， ∴弧长l＝αr＝， 面积＝lr＝××1＝．] 类型1　角度制与弧度制的互化 【例1】　把下列弧度化成角度或角度化成弧度： (1)－450°；(2)；(3)－；(4)112°30′． [解]　(1)－450°＝－450× rad＝－ rad． (2) rad＝×＝18°． (3)－ rad＝－×＝－240°． (4)112°30′＝112.5°＝112.5× rad＝ rad． 角度制与弧度制换算的要点 提醒：角度化弧度时，应先将分、秒化成度，再把角度化成弧度． 1．将下列角度与弧度进行互化． (1)π；(2)；(3)－1 440°；(4)67°30′． [解]　(1)π rad＝π×＝108°． (2) rad＝×＝15°． (3)－1 440°＝－1 440×＝－8π． (4)67°30′＝67.5°＝67.5×＝π． 类型2　用弧度制表示角的集合 【例2】　用弧度制表示顶点在原点，始边重合于x轴的非负半轴，终边落在阴影部分内的角的集合(不包括边界，如图所示)． [解]　(1)． (2)． (3)． 1．弧度制下与角α终边相同的角的表示 在弧度制下，与角α的终边相同的角可以表示为{β|β＝2kπ＋α，k∈Z}，即与角α终边相同的角可以表示成α加上2π的整数倍． 2．根据已知图形写出区域角的集合的步骤 (1)仔细观察图形． (2)写出区域边界作为终边时角的表示． (3)用不等