(讲义)4.1 指数-【提分教练】2023-2024学年新教材高中数学必修第一册(苏教版2019)

4.1　指数 1．理解根式、分数指数幂的意义，掌握根式与分数指数幂的互化．(重点) 2．掌握有理数指数幂的运算法则．(重点) 3．了解实数指数幂的意义． 1．借助根式的性质对根式运算，提升数学运算核心素养． 2．通过分数指数幂、运算性质的推导，培养逻辑推理素养． 3．借助指数幂的运算性质对代数式化简或求值，培养数学运算素养． 我们已经知道，，，，…是正整数指数幂，它们的值分别为，，，…．那么，，，的意义是什么呢？这正是我们将要学习的知识．下面，我们一起将指数的取值范围从整数推广到实数．为此，我们需要先学习根式的知识． 知识点1　基本概念 1．平方根与立方根的概念 如果x2＝a，那么x称为a的平方根；如果x3＝a，那么x称为a的立方根．根据平方根、立方根的定义，正实数的平方根有2个，它们互为相反数，一个数的立方根只有一个． 2．a的n次方根 (1)定义：一般地，xn＝a(n>1，n∈N*)，那么称x为a的n次方根，式子叫作根式，其中n叫作根指数，a叫作被开方数． (2)几个规定： ①当n为奇数时，正数的n次方根是一个正数，负数的n次方根是一个负数，这时，a的n次方根只有一个，记作x＝； ②当n为偶数时，正数的n次方根有两个，它们互为相反数，这时，正数a的正的n次方根用符号表示，负的n次方根用符号－表示，它们可以合并写成±(a>0)的形式； ③0的n次方根等于0(无论n为奇数，还是为偶数)． 1．是根式吗？根式一定是无理式吗？ [提示]　是根式，根式不一定是无理式． 1．思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)16的四次方根为2． (　　) (2)＝π－4． (　　) (3)＝－2． (　　) [提示]　(1)16的四次方根有两个，是±2； (2)＝|π－4|＝4－π；(3)没意义． [答案]　(1)×　(2)×　(3)× 知识点2　根式的性质 (1)＝0(n∈N*，且n>1)； (2)()＝a(n为大于1的奇数)； (3)()＝|a|＝(n为大于1的偶数)； (4)()n＝a(n∈N*，且n>1，a使得有意义)． 2．＝a对任意实数a都成立吗？ [提示]　不都成立．当n为不小于3的正奇数时，a为任意实数，等式＝a恒成立．当n为正偶数时，＝|a|． 2．若n是偶数，＝x－1，则x的取值范围为________． [1，＋∞)　[由题意知x－1≥0，∴x≥1．] 知识点3　分数指数幂的意义 一般地，我们规定： (1)a＝(a>0，m，n均为正整数)； (3)0的正分数指数幂为0,0的负分数指数幂没有意义，0的0次幂没有意义． 3．(1)可化为(　　) A．a　　　B．a　　　C．a　　　D．－a (2)3可化为________． (1)A　(2)　[(1)＝a－． (2)3＝＝．] 知识点4　有理数指数幂的运算性质 (1)asat＝as＋t； (2)(as)t＝ast； (3)(ab)t＝atbt， 其中s，t∈Q，a>0，b>0． 4．化简[(－)2]的结果为________． 　[原式＝[()2] ＝()－1＝．] 类型1　根式的性质 【例1】　求下列各式的值． (1)；(2)；(3)；(4)； (5)－，x∈(－3,3)． [解]　(1)＝－2． (2)＝＝． (3)＝|3－π|＝π－3． (4)＝＝|a3|＝ (5)原式＝－＝|x－1|－|x＋3|， 当－3<x≤1时，原式＝1－x－(x＋3)＝－2x－2； 当1<x<3时，原式＝x－1－(x＋3)＝－4． 因此，原式＝ 化简根式的依据及注意 化简的依据是根式的性质，化简时要注意是奇次还是偶次根式，另外注意的区别. 1．化简求值． (1)＋； (2)＋； (3)若＋＝0，求yx． [解]　(1)＋＝|3.14－π|＋|3.14＋π|＝2π． (2)原式＝|m－n|＋(m－n)＝ (3)由题知0＝|x－1|＋|y＋3|， ∴⇒ ∴yx＝(－3)1＝－3． 类型2　根式与分数指数幂的互化 【例2】　将下列根式化成分数指数幂的形式． 1．根式和分数指数幂互化时应熟练应用a＝和a＝(a>0，m，n∈N*，且n>1)．当所求根式含有多重根号时，要搞清被开方数，由里向外用分数指数幂写出，然后再用性质进行化简． 2．分数指数幂不表示相同因式的乘积，而是根式的另一种写法，但二者在应用时各有所侧重，分数指数幂计算较为灵活，而根式求字母的范围更常用． 2．用分数指数幂表示下列各式． (1)(a>0，b>0)； (2)(a>0，b>0)． [解]　(1)＝＝1． 类型3　分数指数幂的运算 【例3】　(1)计算：0.064－＋[(－2)3]＋16－0.75＋|－0.01|； [思路点拨]　将各个根式化成指数幂的形式，按照幂的运算性质进行运算． [解]　(1)原式＝(0.4