(讲义)3.3.1 从函数观点看一元二次方程-【提分教练】2023-2024学年新教材高中数学必修第一册(苏教版2019)

3.3　从函数观点看一元二次方程和一元二次不等式 3.3.1　从函数观点看一元二次方程 1．理解函数零点的概念．(重点) 2．能根据“两个二次”之间的关系研究函数的零点．(重点、难点) 通过以一元二次方程研究函数的零点的学习，培养数学抽象和数学运算素养． 函数与方程有着一定的联系，请尝试完成下列两个表格，并思考它们有着怎样的联系？ a>0 a<0 一次函数y＝ax＋b的图象 一元一次方程ax＋b＝0的根 Δ>0 Δ＝0 Δ<0 二次函数y＝ax2＋bx＋c(a>0)的图象 一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a>0)的根 二次函数y＝ax2＋bx＋c(a>0)的零点 知识点1　二次函数的零点 一般地，一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的根就是二次函数y＝ax2＋bx＋c (a≠0)当函数值取零时自变量x的值，即二次函数y＝ax2＋bx＋c (a≠0)的图象与x轴的交点的横坐标，也称为二次函数y＝ax2＋bx＋c (a≠0)的零点． 二次函数一定有零点吗？ [提示]　当二次函数的图象与x轴不相交时，二次函数无零点． 函数的零点不是点，而是一个实数，是函数的图象与x轴的交点的横坐标，也是函数值为零时自变量的x的值，也是函数相应的方程相异的实数根． 1．思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)二次函数y＝x2的零点为(0,0)． (　　) (2)当Δ＝0时，二次函数有两个相同的零点． (　　) (3)二次函数y＝ax2＋bx＋c中，a·c<0，则函数有两个零点． (　　) [答案]　(1)×　(2)×　(3)√ 知识点2　函数零点的探究 当a>0时，一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的根、二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象、二次函数y＝ax2＋bx＋c的零点之间的关系如下表所示： 判别式Δ＝b2－4ac Δ>0 Δ＝0 Δ<0 方程ax2＋bx＋c＝0(a>0)的根 有两个相异的实数根x1,2＝ 有两个相等的实数根x1,2＝－ 没有实数根 二次函数y＝ax2＋bx＋c(a>0)的图象 二次函数y＝ax2＋bx＋c(a>0)的零点 有两个零点x1,2＝ 有一个零点x＝－ 无零点 2．二次函数y＝x2＋2x＋1的零点为(　　) A．1　　　　B．2　　　　C．－1　　　　D．－2 C　[令y＝0得，x2＋2x＋1＝0，解得x＝－1，二次函数y＝x2＋2x＋1的零点为－1．] 类型1　求函数的零点 【例1】　求下列函数的零点． (1)y＝3x2－2x－1； (2) y＝ax2－x－a－1(a∈R)； (3) y＝ax2＋bx＋c, 其图象如图所示． [思路点拨]　(1)直接解出相应方程的根． (2)对于二次项的系数a分a＝0，a≠0两类进行讨论，当a≠0时，还要比较两根的大小． (3)根据相应函数的图象，找到其与x轴的交点的横坐标． [解]　(1)由3x2－2x－1＝0解得x1＝1，x2＝－，所以函数y＝3x2－2x－1的零点为1和－． (2)(ⅰ)当a＝0时，y＝－x－1，由－x－1＝0得x＝－1，所以函数的零点为－1． (ⅱ)当a≠0时，由ax2－x－a－1＝0得(ax－a－1)(x＋1)＝0，解得x1＝，x2＝－1． 又－(－1)＝， ①当a＝－时，x1＝x2＝－1，函数有唯一的零点－1． ②当a≠－且a≠0时，x1≠x2，函数有两个零点－1和． 综上：当a＝0或－时，函数的零点为－1； 当a≠－且a≠0时，函数有两个零点－1和． (3)函数的图象与x轴的交点的横坐标为－1和3，所以该函数的零点为－1和3． 1．求函数的零点就是解相应的方程，相应方程互异的实根就是函数的零点． 2．函数的图象与x轴交点的横坐标就是函数的零点． 3．求含有参数的函数y＝ax2＋bx＋c的零点分类讨论的步骤 (1)若二次项系数中含有参数，则讨论二次项系数是否为零； (2)若二次项系数不是零，讨论对应方程的根的判别式的符号，判定方程是否有实数． 若可以因式分解，则一定存在零点． (3)若二次项系数不是零，且相应方程有实数根，讨论相应方程的实数根是否相等． 1．求下列函数的零点． (1)y＝2x2－3x－2； (2)y＝ax2－x－1； (3)y＝ax2＋bx＋c, 其图象如图所示． [解]　(1)由2x2－3x－2＝0解得x1＝2，x2＝－，所以函数y＝2x2－3x－2的零点为2和－． (2)(ⅰ)当a＝0时，y＝－x－1，由－x－1＝0得x＝－1，所以函数的零点为－1． (ⅱ)当a≠0时，由ax2－x－1＝0得Δ＝1＋4a， 当Δ<0，即a<－时，相应方程无实数根，函数无零点； 当Δ＝0，即a＝－时，x1＝x2＝