(讲义)3.2.2 基本不等式的应用-【提分教练】2023-2024学年新教材高中数学必修第一册(苏教版2019)

3.2.2　基本不等式的应用 1．熟练掌握利用基本不等式求条件最值和多元最值．(重点) 2．会利用基本不等式求参数的取值范围．(重点) 3．会用基本不等式求解简单的实际应用题．(重点、难点) 1．由基本不等式求最值，提升数学运算素养． 2．借助基本不等式在实际问题中的应用，培养数学建模素养． 一养殖场想用栅栏围成一个长、宽分别为a、b的矩形牧场，现在已有材料能做成l km的栅栏，那么如何设计才能使围成的矩形牧场面积最大？ 知识点　基本不等式的应用 1．基本不等式的变形 利用基本不等式解决条件最值的关键是构造和为定值或积为定值，主要有两种思路： (1)对条件使用基本不等式，建立所求目标函数的不等式求解． 常用的方法有：拆项法、变系数法、凑因子法、换元法、整体代换法等． (2)条件变形，进行“1”的代换求目标函数最值． 1．已知a＞0，b＞0，a＋b＝2，则y＝＋的最小值是(　　) A．　　　B．4　　　C．　　　D．5 C　[∵a＋b＝2，∴＝1． ∴＋＝ ＝＋≥＋2＝， 当且仅当＝，即b＝2a时，等号成立． 故y＝＋的最小值为．] 2．应用基本不等式解简单的实际应用题(函数类) (1)合理选择自变量，建立函数关系； (2)寻找利用基本不等式的条件(和或积为定值)； (3)解题注意点： ①设变量时一般要把求最大值或最小值的变量定义为函数； ②根据实际问题抽象出函数的解析式后，只需利用基本不等式求得函数的最值； ③在求函数的最值时，一定要在使实际问题有意义的自变量的取值范围内求解． 2．某公司一年购买某种货物400吨，每次都购买x吨，运费为4万元/次，一年的总存储费用为4x万元，要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则x＝________． 20　[总运费与总存储费用之和 y＝4x＋×4＝4x＋≥2＝160， 当且仅当4x＝， 即x＝20时取等号．] 类型1　利用基本不等式变形求最值 【例1】　(1)已知x>0，y>0，且＋＝1，求x＋y的最小值； (2)设a>b>0，求a2＋＋的最小值． [解]　(1)法一：∵x>0，y>0，＋＝1， ∴x＋y＝(x＋y)＝＋＋10 ≥6＋10＝16， 当且仅当＝， 又＋＝1，即x＝4，y＝12时，上式取等号． 故当x＝4，y＝12时，(x＋y)min＝16． 法二：由＋＝1，得(x－1)(y－9)＝9(定值)． 由＋＝1可知x>1，y>9， ∴x＋y＝(x－1)＋(y－9)＋10 ≥2＋10＝16， 当且仅当x－1＝y－9＝3， 即x＝4，y＝12时上式取等号， 故当x＝4，y＝12时，(x＋y)min＝16． (2)因为a>b>0，所以a－b>0，a2－ab>0，则a2＋＋＝(a2－ab)＋＋＋ab≥2 ＋2 ＝4， 当且仅当a2－ab＝且＝ab，即a＝，b＝时取等号． 所以a2＋＋的最小值为4． [母题探究] 若将本例(1)中条件换为：x>0，y>0且2x＋8y＝xy，求x＋y的最小值． [解]　法一：由2x＋8y－xy＝0，得y(x－8)＝2x． ∵x>0，y>0，∴x－8>0，y＝， ∴x＋y＝x＋＝x＋ ＝(x－8)＋＋10≥2＋10＝18． 当且仅当x－8＝，即x＝12时，等号成立． ∴x＋y的最小值是18． 法二：由2x＋8y－xy＝0及x>0，y>0， 得＋＝1． ∴x＋y＝(x＋y) ＝＋＋10≥2＋10＝18． 当且仅当＝，即x＝2y＝12时等号成立． ∴x＋y的最小值是18． 1．基本不等式常见的变形技巧有： (1)配凑系数；(2)变符号；(3)拆补项． 常见形式有y＝ax＋(积定)型和y＝ax(b－ax)(和定)型． 2．多元最值问题，可以通过消元，转化为一元最值问题来处理，注意消元后的变量的范围． 3．两次同时应用或两次应用基本不等式求最值时，多个等号必须同时取到． 1．已知a＞0，b＞0，a＋2b＝1，则＋的最小值为________． 3＋2　[∵a＞0，b＞0，且a＋2b＝1. ∴＋＝·1 ＝·(a＋2b) ＝1＋＋＋2＝3＋＋≥3＋2 ＝3＋2， 当且仅当即时等号成立． ∴＋的最小值为3＋2.] 2．已知正数x，y满足x2＋2xy－3＝0，则2x＋y的最小值是________． 3　[由题意得y＝， ∴2x＋y＝2x＋＝＝≥3， 当且仅当x＝y＝1时，等号成立．] 类型2　利用基本不等式求参数取值范围 【例2】　(1)已知函数y＝x＋＋2的值构成的集合为(－∞，0]∪[4，＋∞)，则a的值是(　　) A． B． C．1 D．2 (2)已知函数y＝(a∈R)，若对于任意的x∈N*，y≥3恒成立，则a的取值范围是________． (1)C　 (2) 　[(1)由题意可得a＞0， ①当x＞0时，f(x)＝x＋＋2≥2＋2， 当且仅