(讲义)2.2 充分条件、必要条件、充要条件-【提分教练】2023-2024学年新教材高中数学必修第一册(苏教版2019)

2.2　充分条件、必要条件、充要条件 1．结合具体实例，理解充分条件、必要条件、充要条件的意义．(重点、难点) 2．会求(判断)某些问题成立的充分条件、必要条件、充要条件．(重点) 3．理解性质定理、判定定理和定义与充分条件和必要条件之间的关系．(重点) 4．能够利用命题之间的关系判定充要关系或进行充要条件的证明．(难点) 1．通过充要条件的判断，提升逻辑推理素养． 2．借助充要条件的应用，培养数学运算素养． “充分”“必要”是我们日常生活中经常使用的词语，你知道下列语句中的这两个词分别表达的是什么意思吗？ （1）“不断出现的数据让禁放派理由更加充分”（《中国青年报》）. （2）“做到了目标明确、数据翔实、理由充分、逻辑严密”（《人民日报》）. （3）“文学不只是知识，同时也是一种能力，写作对于一个文学系的学生而言是一种必要的素质”（《人民日报》）. 知识点1　充分条件与必要条件 命题真假 “若p，则q”是真命题 “若p，则q”是假命题 推出关系 p⇒q pq 条件关系 p是q的充分条件 q是p的必要条件 p不是q的充分条件 q不是p的必要条件 “p⇒q”含义的理解：一方面，一旦p成立，q一定也成立．即p对q的成立是充分的；另一方面，如果q不成立，那么p一定不成立；即q对p的成立是必要的． 1．(1)p是q的充分条件与q是p的必要条件所表示的推出关系是否相同？ (2)以下五种表述形式：①p⇒q；②p是q的充分条件；③q的充分条件是p；④q是p的必要条件；⑤p的必要条件是q．这五种表述形式等价吗？ [提示]　(1)相同，都是p⇒q．(2)等价． 1．思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)q是p的必要条件时，p是q的充分条件． (　　) (2)q不是p的必要条件时，“pq”成立． (　　) (3)若q是p的必要条件，则q成立，p也成立． (　　) [答案]　(1)√　(2)√　(3)× 知识点2　充要条件 (1)如果p⇒q，且q⇒p，那么称p是q的充分且必要条件，简称p是q的充要条件． 为了方便起见，p是q的充要条件，就记作p⇔q，称为“p与q等价”或“p等价于q”．“⇒”和“⇔”都具有传递性，即 ①如果p⇒q，q⇒s，则p⇒s； ②如果p⇔q, q⇔s，则p⇔s． (2)若p⇒q，但qp，则称p是q的充分不必要条件． (3)若q⇒p，但pq，则称p是q的必要不充分条件． (4)若pq，且qp，则称p是q的既不充分也不必要条件． 2．(1)若p是q的充要条件，则命题p和q是两个相互等价的命题，这种说法对吗？ (2)“p是q的充要条件”与“p的充要条件是q”的区别在哪里？ [提示]　(1)正确．若p是q的充要条件，则p⇔q，即p等价于q． (2)若①p是q的充要条件，则由p⇒q证的是充分性，由q⇒p证的是必要性． ②若p的充要条件是q，则由p⇒q证的是必要性，由q⇒p证的是充分性． 知识点3　性质定理和判定定理与充分必要条件的关系 (1)性质定理是某类对象具有的具体特征，所以性质定理具有“必要性”； (2)判定定理是指对象只要具有某具体的特征，就一定有该对象的所有特征，所以判定定理具有“充分性”； (3)数学中的定义既可以作为判定，也可以作为性质．即数学中的定义具有“充要性”． 2．“同位角相等”是“两直线平行”的(　　) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．既是充分条件，也是必要条件 D．既不充分也不必要条件 C　[两直线平行，同位角相等．两条直线被第三条直线所截得的同位角相等，那么这两条直线平行．] 类型1　充分条件、必要条件的判断 【例1】　指出下列各题中p是q的什么条件． (1)p：x－3＝0，q：(x－2)(x－3)＝0； (2)p：两个三角形相似，q：两个三角形全等； (3)p：a＞b，q：ac＞bc． [解]　(1)x－3＝0⇒(x－2)(x－3)＝0，但(x－2)·(x－3)＝0x－3＝0，故p是q的充分不必要条件． (2)两个三角形相似两个三角形全等，但两个三角形全等⇒两个三角形相似，故p是q的必要不充分条件． (3)a＞bac＞bc，且ac＞bca＞b， 故p是q的既不充分也不必要条件． 定义法判断充分条件、必要条件 1确定谁是条件，谁是结论. 2尝试从条件推结论，若条件能推出结论，则条件为充分条件，否则就不是充分条件. 3尝试从结论推条件，若结论能推出条件，则条件为必要条件，否则就不是必要条件. 1．指出下列各组命题中，p是q的什么条件． (1)p：四边形的对角线相等，q：四边形是平行四边形； (2)p：(x－1)2＋(y－2)2＝0，q：(x－1)(y－2)＝0． [解]　(1)因为四边形的对角线相等D/⇒四边形是平行四边形，四边形是平行四边形D/⇒四边形的