(讲义)2.1 命题、定理、定义-【提分教练】2023-2024学年新教材高中数学必修第一册(苏教版2019)

2.1　命题、定理、定义 1．理解命题的概念，能判断给定的语句是不是命题．(重点) 2．掌握判断命题真假的方法，能判断命题的真假．(难点、易错点) 3．了解定理和定义与命题的关系，会用定理和定义解题．(重点) 4．理解命题的结构，会分析命题的条件和结论，能把命题改写成“若p，则q”的形式．(重点) 1．借助命题的概念及应用，提升数学抽象素养． 2．借助命题真假的判定、定理与定义的应用，培养逻辑推理素养． 在数学中，我们将可以判断真假的陈述句叫作命题，一方面，数学中的定义、定理属于命题吗？它们有什么共同的结构？它们都是真命题吗？另一方面，初中平面几何中推理论证的基础是什么？ 知识点1　命题的定义与分类 (1)命题的定义：在数学中，可判断真假的陈述句叫作命题． (2)命题定义中的两个要点：“可判断真假”和“陈述句”． (3)分类：命题 1．(1)“x－1＝0”是命题吗？ (2)“命题一定是陈述句，但陈述句不一定是命题”这个说法正确吗？ [提示]　(1)“x－1＝0”不是命题，因为它不能判断真假． (2)正确．根据命题的定义，命题一定是陈述句，但陈述句中只有能够判断真假的才是命题． 一般地，疑问句、祈使句、感叹句、开语句都不是命题．如今天的作业完成了吗？请勿吸烟等． 1．思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)语句“陈述句都是命题”不是命题． (　　) (2)命题“实数的平方是非负数”是真命题． (　　) [答案]　(1)×　(2)√ 知识点2　命题的结构及定理、定义 1．命题的结构 (1)命题的一般形式为“若p，则q”．其中p叫作命题的条件，q叫作命题的结论． (2)确定命题的条件和结论时，常把命题改写成“若p，则q”的形式． 2．命题“实数的平方是非负数”的条件与结论分别是什么？ [提示]　条件是：“一个数是实数”，结论是：“它的平方是非负数”． 2．把命题“矩形的对角线相等”改写成“若p则q”的形式为_____． [答案]　若一个四边形是矩形，则它的对角线相等 2．定理与定义 在数学中，有些已经被证明为真的命题可以作为推理的依据直接使用，一般称之为定理． 在数学中的定义是对某些对象标明符号、指明称谓，或者揭示所研究问题中对象的内涵． (1)数学中的定理、推论和数学中定义都是命题． (2)数学中的定义既可以用于对某些对象的判断，也可以作为某类对象所具有的性质． 类型1　命题的判断 【例1】　(1)下列语句为命题的是(　　) A．x2－1＝0 B．2＋3＝8 C．你会说英语吗？ D．这是一棵大树 (2)下列语句为命题的有________． ①x∈R，x>2；②梯形是不是平面图形呢？③22 022是一个很大的数；④4是集合{2,3,4}中的元素；⑤作△ABC≌△A′B′C′． (1)B　(2)①④　[(1)A中x不确定，x2－1＝0的真假无法判断；B中2＋3＝8是命题，且是假命题；C不是陈述句，故不是命题；D中“大”的标准不确定，无法判断真假． (2)①中x有范围，可以判断真假，因此是命题；②是疑问句，不是命题；③是陈述句，但“大”的标准不确定，无法判断真假，因此不是命题；④是陈述句且能判断真假，因此是命题；⑤是祈使句，不是命题．] 判断语句是命题的关键点 (1)该语句必须是陈述句； (2)该语句可以判断真假． 提醒：对于含变量的语句，要注意根据变量的取值范围看能否判断其真假，若能，就是命题，若不能，就不是命题． 1．判断下列语句是不是命题，并说明理由． (1)函数y＝x2－2x (x∈R)是二次函数； (2)x2－3x＋2＝0； (3)若x∈R，则x2＋4x＋7>0； (4)垂直于同一条直线的两条直线一定平行吗？ (5)一个数不是奇数就是偶数； (6)2030年6月1日上海会下雨． [解]　(1)是命题，满足二次函数的定义． (2)不是命题，不能判断真假． (3)是命题．当x∈R时，x2＋4x＋7＝(x＋2)2＋3>0能判断真假． (4)疑问句，不是命题． (5)是命题，能判断真假． (6)不是命题，不能判断真假． 类型2　命题的构成 【例2】　(1)已知命题：弦的垂直平分线经过圆心并且平分弦所对的弧．若把上述命题改为“若p，则q”的形式，则p是________，q是________． (2)把下列命题改写成“若p，则q”的形式． ①函数y＝2x＋1是一次函数； ②已知x，y为正整数，当y＝x＋1时，y＝3，x＝2； ③当abc＝0时，a＝0且b＝0且c＝0． (1)一条直线是弦的垂直平分线　这条直线经过圆心且平分弦所对的弧　[命题的条件是“弦的垂直平分线”，结论是“经过圆心并且平分弦所对的弧”．因此p是“一条直线是弦的垂直平分线”，q是“这条直线经过圆心并且平分弦所对的弧”．] (2)[解]　①若函数的解析