(讲义)1.2 第1课时 子集、真子集-【提分教练】2023-2024学年新教材高中数学必修第一册(苏教版2019)

1.2　子集、全集、补集 第1课时　子集、真子集 1．理解集合间包含与相等的含义，能识别给定集合间是否有包含关系．(重点) 2．能通过分析元素的特点判断集合间的关系．(难点) 3．能根据集合间的关系确定一些参数的取值．(难点、易错点) 1．通过对集合之间包含与相等的含义以及子集、真子集概念的理解，培养数学抽象素养． 2．借助子集和真子集的求解，培养数学运算素养． 如果一个班级中，所有同学组成的集合记为S，而所有女同学组成的集合记为F，你觉得集合S和F之间有怎样的关系？你能从集合元素的角度分析它们的关系吗？ 知识点1　子集的概念及其性质 (1)子集 定义 如果集合A的任意一个元素都是集合B的元素(若a∈A，则a∈B)，那么集合A称为集合B的子集 符号表示 A⊆B(或B⊇A) 读法 集合A包含于集合B(或集合B包含集合A) 图示 (2)子集的性质 ①A⊆A，即任何一个集合是它本身的子集． ②∅⊆A，即空集是任何集合的子集． ③若A⊆B，B⊆C，则A⊆C，即子集具备传递性． (3)集合相等 若A⊆B且B⊆A，则A＝B． 1．(1)任何两个集合之间是否一定有包含关系？ (2)符号“∈”与“⊆”有何不同？ [提示]　(1)不一定，如集合A＝{1,2}与B＝{3,4}这两个集合之间没有包含关系． (2)符号“∈”表示元素与集合间的关系；而“⊆”表示集合与集合之间的关系． 不能把“A⊆B”理解为“A是B中部分元素组成的集合”，因为集合A可能是空集，也可能是集合B． 1．思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)空集中只有元素0，而无其余元素． (　　) (2)任何一个集合都有子集． (　　) (3)若A＝B，则A⊆B且B⊆A． (　　) (4)若a∈A，则{a}⊆A． (　　) [答案]　(1)×　(2)√　(3)√　(4)√ 知识点2　真子集的概念与性质 (1)真子集的概念 如果A⊆B，并且A≠B，那么集合A称为集合B的真子集，记为AB或BA，读作“A真包含于B”或“B真包含A”． (2)性质 ①∅是任一非空集合的真子集． ②若AB，BC，则AC． 2．{0}与∅相等吗？ [提示]　不相等．{0}表示一个集合，且集合中有且仅有一个元素0；而∅表示空集，其不含有任何元素，故{0}≠∅． 2．集合A＝{x|0≤x<2，x∈N}的真子集的个数为________． 3　[集合A＝{0,1}，其真子集分别为∅，{0}，{1}，共3个．] 类型1　确定集合的子集、真子集 【例1】　设A＝{x|(x2－16)(x2＋5x＋4)＝0}，写出集合A的子集与真子集． [解]　由(x2－16)(x2＋5x＋4)＝0，得(x－4)(x＋1)(x＋4)2＝0， 解方程得x＝－4，或x＝－1或x＝4， 故集合A＝{－4，－1,4}． 由0个元素构成的子集为：∅； 由1个元素构成的子集为：{－4}，{－1}，{4}； 由2个元素构成的子集为：{－4，－1}，{－4,4}，{－1,4}； 由3个元素构成的子集为：{－4，－1,4}； 故集合A的子集为：∅，{－4}，{－1}，{4}，{－4，－1}，{－4,4}，{－1,4}，{－4，－1,4}共8个子集． 真子集为：∅，{－4}，{－1}，{4}，{－4，－1}，{－4,4}，{－1,4}共7个． 确定子集、真子集的关键点和规律 1．有限集的子集的确定问题，求解关键有三点： (1)确定所求集合； (2)合理分类，按照子集所含元素的个数依次写出，一般按元素从少到多的顺序逐个写出满足条件的集合； (3)注意两个特殊的集合，即空集和集合本身． 2．与子集、真子集个数有关的三个结论 假设集合A中含有n个元素，则有： (1)A的子集的个数为2n； (2)A的真子集的个数为2n－1； (3)A的非空真子集的个数为2n－2． 1．已知集合M满足{1,2}M⊆{1,2,3,4,5}，写出集合M所有的可能情况． [解]　由题意可以确定集合M必含有元素1,2，且至少含有元素3,4,5中的一个，因此依据集合M的元素个数分类如下： 含有3个元素：{1,2,3}，{1,2,4}，{1,2,5}； 含有4个元素：{1,2,3,4}，{1,2,3,5}，{1,2,4,5}； 含有5个元素：{1,2,3,4,5}． 故满足条件的集合M为{1,2,3}，{1,2,4}，{1,2,5}，{1,2,3,4}，{1,2,3,5}，{1,2,4,5}，{1,2,3,4,5}． 类型2　集合关系的判断 【例2】　指出下列各对集合之间的关系： (1)A＝{－1,1}，B＝{x|x2＝1，x∈N}； (2)A＝{－1,1}，B＝{(－1，－1)，(－1,1)，(1，－1)，(1,1)}； (3)P＝{x|x＝3n－1，n∈Z}，