(讲义)第2章 3 第2课时 函数的最大(小)值-【提分教练】2023-2024学年新教材高中数学必修第一册(北师大版2019)

第2课时　函数的最大(小)值 1．理解函数的最大值和最小值的概念及其几何意义．(重点) 2．能借助函数的图象和单调性，求一些简单函数的最值．(重点、难点) 3．能利用函数的最值解决有关的实际应用问题．(重点) 1．通过函数最值的求法，培养直观想象和数学运算素养． 2．借助利用函数的最值解决实际问题，培养数学建模素养． 1．从函数图象可以看出，函数最大(小)值的几何意义是什么？ 2．函数最大值、最小值的定义是什么？ 3．若函数f (x)在区间[a，b]上是增函数，则它的最大值和最小值各是什么？ 4．所有函数在定义域内一定有最大值或最小值吗？ 函数最大值与最小值 最大值 最小值 条件 设函数y＝f (x)的定义域为D，如果存在实数M满足，对所有的x∈D，都有 f (x)≤M f (x)≥M 且存在x0∈D，使得f (x0)＝M 结论 M是函数y＝f (x)的最大值 M是函数y＝f (x)的最小值 几何意义 f (x)图象上最高点的纵坐标 f (x)图象上最低点的纵坐标 若函数f (x)≤M，则M一定是函数的最大值吗？ [提示]　不一定，只有定义域内存在一点x0，使f (x0)＝M时，M才是函数的最大值，否则不是． 1．下列关于函数f (x)＝2x－1(x<0)的说法中，正确的是________．(填序号) ①有最大值；②有最小值；③既有最大值又有最小值；④既无最大值又无最小值． [答案]　④ 2．函数y＝f (x)在[－2，2]上的图象如图所示，则此函数的最小值、最大值分别是________，________． [答案]　－1　2 3．(1)函数f (x)＝，x∈[2，4]，则f (x)的最大值为________，最小值为________． (2)函数y＝2x2＋2，x∈N*的最小值是________． [答案]　(1)1　　(2)4　[(2)函数y＝2x2＋2在(0，＋∞)上是增函数，又因为x∈N*，所以当x＝1时，y最小值＝2×12＋2＝4．] 类型1　利用函数的图象求函数的最值(值域) 【例1】　已知函数f (x)＝ (1)在直角坐标系内画出f (x)的图象； (2)根据函数的图象写出函数的单调区间和值域． [解]　(1)图象如图所示： (2)由图可知f (x)的单调递增区间为[－1，0]，[2，5]，单调递减区间为(0，2)，值域为[－1，3]． 利用图象求函数最值的方法 1画出函数y＝fx的图象； 2观察图象，找出图象的最高点和最低点； 3写出最值，最高点的纵坐标是函数的最大值，最低点的纵坐标是函数的最小值. [跟进训练] 1．已知函数f (x)＝求f (x)的最大值、最小值． [解]　作出函数f (x)的图象(如图)． 由图象可知，当x＝±1时，f (x)取最大值为f (±1)＝1．当x＝0时，f (x)取最小值f (0)＝0， 故f (x)的最大值为1，最小值为0． 类型2　利用函数的单调性求最值(值域) 【例2】　已知函数f (x)＝． (1)判断函数在区间(－1，＋∞)上的单调性，并用定义证明你的结论； (2)求该函数在区间[2，4]上的最大值和最小值． [解]　(1)f (x)在(－1，＋∞)上为增函数，证明如下：任取－1<x1<x2， 则f (x1)－f (x2)＝－＝， 因为－1<x1<x2⇒x1＋1>0，x2＋1>0，x1－x2<0， 所以f (x1)－f (x2)<0⇒f (x1)<f (x2)， 所以f (x)在(－1，＋∞)上为增函数． (2)由(1)知f (x)在[2，4]上单调递增， 所以f (x)的最小值为f (2)＝＝， 最大值f (4)＝＝． 1．利用单调性求函数的最大(小)值的一般步骤 (1)判断函数的单调性． (2)利用单调性求出最大(小)值． 2．函数的最大(小)值与单调性的关系 (1)若函数f (x)在区间[a，b]上是增(减)函数，则f (x)在区间[a，b]上的最小(大)值是f (a)，最大(小)值是f (b)． (2)若函数f (x)在区间[a，b]上是增(减)函数，在区间[b，c]上是减(增)函数，则f (x)在区间[a，c]上的最大(小)值是f (b)，最小(大)值是f (a)与f (c)中较小(大)的一个． 提醒：(1)求最值勿忘求定义域． (2)闭区间上的最值，不判断单调性而直接将两端点值代入是最容易出现的错误，求解时一定注意． [跟进训练] 2．求函数f (x)＝x＋在[1，4]上的最值． [解]　设1≤x1<x2<2， 则f (x1)－f (x2)＝x1＋－x2－＝x1－x2＋ ＝(x1－x2)·＝(x1－x2) ＝． ∵1≤x1<x2<2，∴x1－x2<0，x1x2－4<0，x1x2>0， ∴f (x1)>f (