(讲义)第2章 3 第1课时 函数的单调性-【提分教练】2023-2024学年新教材高中数学必修第一册(北师大版2019)

§3　函数的单调性和最值 第1课时　函数的单调性 1．理解函数单调区间、单调性等概念．(重点) 2．借助函数图象，会用符号语言表达函数的单调性，并理解其作用和实际意义．(重点、易混点) 3．会用定义证明函数的单调性．(难点) 1．通过单调区间、单调性等概念的学习，培养数学抽象素养． 2．通过用定义证明函数的单调性，培养逻辑推理素养． 1．增函数、减函数的概念是什么？ 2．函数的单调性和单调区间有什么关系？ 3．增函数、减函数的图象有什么特点？ 4．所有函数都具有单调性吗？ 知识点1　增函数、减函数的概念 设函数y＝f(x)的定义域是D. 如果对于定义域D上任意的x1，x2，当x1＜x2时，都有f(x1)＜f(x2)，那么就称函数y＝f(x)是增函数．特别地，当I是定义域D上的一个区间时，也称函数y＝f(x)在区间I上单调递增．区间I叫作函数y＝f(x)的单调递增区间． 如果对于定义域D上任意的x1，x2，当x1＜x2时，都有f(x1)＞f(x2)，那么就称函数y＝f(x)是减函数．特别地，当I是定义域D上的一个区间时，也称函数y＝f(x)在区间I上单调递减．区间I叫作函数y＝f(x)的单调递减区间． 1．定义中的“任意x1，x2∈D”能否改成“存在x1，x2∈D”？ [提示]　不能． 1．下列命题中真命题的个数为(　　) ①定义在(a，b)上的函数f(x)，如果∃x1，x2∈(a，b)，当x1<x2时，有f(x1)<f(x2)，那么f(x)在(a，b)上是增函数； ②如果函数f(x)在区间I1上为减函数，在区间I2上也为减函数，那么f(x)在区间I1和I2上就一定是减函数； ③∀x1，x2∈(a，b)，且x1≠x2，当<0时，f(x)在(a，b)上为减函数； ④∀x1，x2∈(a，b)，且x1≠x2，当(x1－x2)·[f(x1)－f(x2)]>0时，f(x)在(a，b)上是增函数； ⑤∃x1，x2∈(a，b)，且x1<x2，f(x1)≥f(x2)成立，则函数f(x)在(a，b)上不是增函数． A．1　　B．2　　C．3　　D．4 C　[①是假命题，“存在”“无穷多个”不能代表“所有”“任意”； 由f(x)＝，可知②是假命题； ∵<0等价于[f(x1)－f(x2)]·(x1－x2)<0，而此式又等价于或 即或 ∴f(x)在(a，b)上为减函数，③是真命题，同理可得④也是真命题． 若要说明函数f(x)在某个区间上不是增(减)函数，只需在该区间上找到两个值x1，x2，证明当x1<x2时，f(x1)≥f(x2)(f(x1)≤f(x2))成立即可，故⑤是真命题．] 2．下列函数f(x)中，满足对任意x1，x2∈(0，＋∞)，当x1<x2时，都有f(x1)>f(x2)的是________(填序号)． ①f(x)＝x2；　　②f(x)＝；　　③f(x)＝|x|; 　　④f(x)＝2x＋1． [答案]　② 知识点2　函数的单调性与单调区间 如果函数y＝f(x)在区间I上单调递增或单调递减，那么就称函数y＝f(x)在区间I上具有单调性，单调递增区间和单调递减区间统称为单调区间． 2．(1)区间A一定是函数的定义域吗？ (2)函数y＝在定义域上是减函数吗？ [提示]　(1)不一定，可能是定义域的一部分． (2)y＝在定义域上不是减函数，但是它有两个单调递减区间(－∞，0)，(0，＋∞)． 3．(1)函数y＝－x2＋x＋2的单调递增区间是________． (2)函数f(x)＝－x2－2x的单调递增区间是________． [答案]　(1)　(2)(－∞，－1] 类型1　函数单调性的判定与证明 【例1】　求证：函数f(x)＝在(0，＋∞)上是减函数，在(－∞，0)上是增函数． [证明]　对于任意的x1，x2∈(－∞，0)，且x1<x2， 有f(x1)－f(x2)＝－＝＝．∵x1<x2<0， ∴x2－x1>0，x1＋x2<0，xx>0． ∴f (x1)－f (x2)<0，即f (x1)<f (x2)． ∴函数f (x)＝在(－∞，0)上是增函数． 对于任意的x1，x2∈(0，＋∞)，且x1<x2，有 f (x1)－f(x2)＝． ∵0<x1<x2， ∴x2－x1>0，x2＋x1>0，xx>0． ∴f(x1)－f(x2)>0，即f(x1)>f(x2)． ∴函数f(x)＝在(0，＋∞)上是减函数． 利用定义证明函数单调性的4个步骤 [跟进训练] 1．判断并证明函数f(x)＝－＋1在(0，＋∞)上的单调性． [解]　函数f(x)＝－＋1在(0，＋∞)上是增函数．证明如下： 设x1，x2是(0，＋∞)上的任意两个实数，且x1<x2， 则f(x1)－f(x2)＝－＝， 由x1，x2∈(0，＋∞)，得x1x2>0， 又由x1<x2，得x1－x2<0