(讲义)第2章 2.2 函数的表示法-【提分教练】2023-2024学年新教材高中数学必修第一册(北师大版2019)

2.2　函数的表示法 1．在实际情境中，会根据不同的需要选择恰当的方法(图象法、列表法、解析法)表示函数，理解函数图象的作用．(重点、难点) 2．通过具体实例，了解简单的分段函数，并能简单应用．(重点、易错点) 1．通过学习图象法表示函数，培养直观想象素养． 2．通过求函数解析式，培养数学运算素养． 1．函数的表示方法有哪几种？ 2．函数的表示方法各有什么优缺点？如何选择函数的表示方法表示具体问题？ 3．什么是分段函数？ 4．分段函数是多个函数吗？ 5．如何画分段函数的图象？ 知识点1　函数的表示法 1．函数的三种表示法各有什么优缺点？ [提示]　 1．函数f(x)的图象如图所示，则f(x)的定义域是________，值域是________． [答案]　[－1，0)∪(0，2]　[－1，1) 2．若反比例函数f(x)满足f(3)＝－6，则f(x)的解析式为________． [答案]　f(x)＝－ 知识点2　分段函数 (1)分段函数 如果函数y＝f(x)，x∈A，根据自变量x在A中不同的取值范围，有着不同的对应关系，则称这样的函数为分段函数． (2)分段函数的图象 分段函数有几段，它的图象就由几条曲线组成．在同一直角坐标系中，根据每段的定义区间和表达式依次画出图象，要注意每段图象的端点是空心点还是实心点，组合到一起就得到整个分段函数的图象． 2．函数y＝是分段函数吗？它是一个函数还是两个函数？ [提示]　函数y＝是分段函数，它是一个函数． 3．已知f(x)＝则f(－2)＝________． [答案]　2 4．函数y＝的定义域为______，值域为________． [答案]　(－∞，0)∪(0，＋∞)　{－2}∪(0，＋∞) 类型1　函数的表示法 【例1】　某商场新进了10台彩电，每台售价3 000元，试求售出台数x与收款数y之间的函数关系，分别用列表法、图象法、解析法表示出来． [解]　(1)列表法： x/台 1 2 3 4 5 y/元 3 000 6 000 9 000 12 000 15 000 x/台 6 7 8 9 10 y/元 18 000 21 000 24 000 27 000 30 000 (2)图象法： (3)解析法：y＝3 000x，x∈{1，2，3，…，10}． 1．解析法、列表法、图象法是从三个不同角度表示函数的对应关系，同一个函数可用不同的方法表示． 2．在用三种方法表示函数时，要注意： (1)解析法要注明函数的定义域； (2)列表法选取的自变量的取值要具有代表性，应能反映定义域的特征； (3)图象法要注意图象是散点还是连续的曲线． [跟进训练] 1．已知函数f(x)，g(x)分别由下表给出． x 1 2 3 f(x) 2 1 1 x 1 2 3 g(x) 3 2 1 则f ( g(1))的值为________；当g ( f (x))＝2时，x＝________． 1　1　[由于函数关系是用表格形式给出的，知g (1)＝3，∴f ( g(1))＝f (3)＝1． 由于g (2)＝2，∴f (x)＝2，∴x＝1．] 类型2　函数图象的作法及应用 【例2】　作出下列函数的图象并求出其值域． (1)y＝2x＋1，x∈[0，2]； (2)y＝，x∈[2，＋∞)； (3)y＝x2＋2x，x∈[－2，2]． (4)y＝ [解]　(1)当x∈[0，2]时，图象是直线y＝2x＋1的一部分，观察图象可知，其值域为[1，5]． (2)当x∈[2，＋∞)时，图象是反比例函数y＝的一部分，观察图象可知其值域为(0，1]． (3)当－2≤x≤2时，图象是抛物线y＝x2＋2x的一部分． 由图可得函数的值域是[－1，8]． (4)函数对应图象如图所示： 由图可得其值域为(－6，6]． 画函数图象的两种常见方法 (1)描点法 一般步骤： ①列表——先找出一些(有代表性的)自变量x，并计算出与这些自变量相对应的函数值f(x)，用表格的形式表示出来； ②描点——从表中得到一系列的点(x，f(x))，在坐标平面上描出这些点； ③连线——用光滑曲线把这些点按自变量由小到大的顺序连接起来． (2)变换作图法：常用的有水平平移变换、竖直平移变换、翻折变换等． [跟进训练] 2．作出下列函数的图象： (1)y＝1－x(x∈Z)； (2)y＝x2－4x＋3，x∈[1，3]． (3)y＝ [解]　(1)因为x∈Z，所以图象为直线y＝1－x上的孤立点，其图象如图①所示． (2)y＝x2－4x＋3＝(x－2)2－1， 当x＝1，3时，y＝0； 当x＝2时，y＝－1，其图象如图②所示． ①　　　　　　　② (3) 类型3　函数解析式的求法 　用待定系数法求函