(讲义)第2章 2.1 函数概念-【提分教练】2023-2024学年新教材高中数学必修第一册(北师大版2019)

§2　函数 2.1　函数概念 1．在初中用变量之间的依赖关系描述函数的基础上，用集合语言和对应关系刻画函数，建立完整的函数概念．(重点、难点) 2．体会集合语言和对应关系在刻画函数概念中的作用．(重点) 3．了解构成函数的要素，能求简单函数的定义域．(重点、难点) 1．通过学习函数的概念，培养数学抽象素养． 2．借助函数的定义域的求解，培养数学运算素养． 1．函数的定义是什么？ 2．函数的自变量、定义域是如何定义的？ 3．函数的值域是如何定义的？ 知识点1　函数的有关概念 函数的定义 给定实数集R中的两个非空数集A和B，如果存在一个对应关系f，使对于集合A中的每一个数x，在集合B中都有唯一确定的数y和它对应，那么就把对应关系f称为定义在集合A上的一个函数 函数的记法 y＝f(x)，x∈A 定义域 集合A称为函数的定义域，x称为自变量 值域 与x值对应的y值称为函数值，集合{f(x)|x∈A}称为函数的值域 1．(1)有人认为“y＝f(x)”表示的是“y等于f与x的乘积”，这种看法对吗？ (2)f(x)与f(a)有何区别与联系？ [提示]　(1)这种看法不对．符号y＝f(x)是“y是x的函数”的数学表示，应理解为x是自变量，它是关系所施加的对象；f是对应关系，它可以是一个或几个解析式，可以是图象、表格，也可以是文字描述；y是自变量的函数，当x允许取某一具体值时，相应的y值为与该自变量值对应的函数值．y＝f(x)仅仅是函数符号，不表示“y等于f与x的乘积”．在研究函数时，除用符号f(x)外，还常用g(x)，F(x)，G(x)等来表示函数． (2)f(x)与f(a)的区别与联系：f(a)表示当x＝a时，函数f(x)的值，是一个常量，而f(x)是自变量x的函数，一般情况下，它是一个变量，f(a)是f(x)的一个特殊值，如一次函数f(x)＝3x＋4，当x＝8时，f(8)＝3×8＋4＝28是一个常数． 1．下图中能表示函数关系的是________(填序号)． ①　　　　②　　　　③　　　　　④ ①②④　[由于③中的2与1和3同时对应，故③不是函数．] 2．函数f(x)＝的定义域是________． {x|x<4}　[由4－x>0，解得x<4，所以原函数的定义域为{x|x<4}．] 3．已知f(x)＝x2＋1，则f(－1)＝________． 2　[∵f(x)＝x2＋1， ∴f(－1)＝(－1)2＋1＝2．] 知识点2　同一个函数 一个函数的构成要素为：定义域、对应关系和值域．如果两个函数的定义域相同，并且对应关系完全一致，即相同的自变量对应的函数值也相同，那么这两个函数是同一个函数． 2．(1)函数有定义域、对应关系和值域三要素，为什么判断两个函数是否是同一个函数，只看定义域和对应关系？ (2)定义域和值域分别相同的两个函数是同一个函数吗？ [提示]　(1)由函数的定义域和对应关系可以求出函数的值域，所以判断两个函数是否是同一个函数，只看定义域和对应关系即可． (2)不一定，如果对应关系不同，这两个函数一定不是同一个函数． 4．给出下列三组函数，其中表示同一个函数的是______(填序号)． ①f(x)＝x，g(x)＝； ②f(x)＝2x＋1，g(x)＝2x－1； ③f(x)＝x，g(x)＝． ③　[①中f(x)＝x与g(x)＝的定义域不同；②中f(x)＝2x＋1，g(x)＝2x－1的对应关系不同．] 类型1　函数的概念 【例1】　(1)下列各图中，不可能表示函数y＝f(x)的图象的是(　　) A　　　　B　　　　　C　　　　D (2)判断下列对应是否为集合A到集合B的函数． ①A＝R，B＝{x|x＞0}，f：x→y＝|x|； ②A＝Z，B＝Z，f：x→y＝x2； ③A＝Z，B＝Z，f：x→y＝； ④A＝{x|－1≤x≤1}，B＝{0}，f：x→y＝0． (1)B　[根据函数的定义，当图形与垂直于x轴的直线有两个交点时，图形不可能是函数的图象，故选B．] (2)[解]　①A中的元素0在B中没有对应元素，故不是集合A到集合B的函数． ②对于集合A中的任意一个整数x，按照对应关系f：x→y＝x2在集合B中都有唯一一个确定的整数x2与其对应，故是集合A到集合B的函数． ③集合A中的负整数没有平方根，在集合B中没有对应的元素，故不是集合A到集合B的函数． ④对于集合A中任意一个实数x，按照对应关系f：x→y＝0在集合B中都有唯一一个确定的数0和它对应，故是集合A到集合B的函数． 1．判断一个对应是否是函数的方法 2．根据图形判断是否为函数的方法 (1)任取一条垂直于x轴的直线l． (2)在定义域内平行移动直线l． (3)若l与图形有且只有一个交点，则是函数；若在定义域内没有交点或有两个或两个以上的交点，则不是函数． [跟