(讲义)第2章 1 生活中的变量关系-【提分教练】2023-2024学年新教材高中数学必修第一册(北师大版2019)

§1　生活中的变量关系 1．了解生活中两个变量之间的依赖关系．(重点) 2．能辨析依赖关系和函数关系的区别和联系．(重、难点) 通过生活中的变量关系的学习，培养数学建模素养． 怎样的依赖关系是函数关系？ 1．依赖关系 一般地，在某变化过程中有两个变量，如果其中一个变量的值发生了变化，另一个变量的值也会随之发生变化，那么就称这两个变量具有依赖关系． 2．函数关系 一般地，当变量x每取一个值，另一个变量y都有唯一确定的值与之对应时，变量x，y之间具有函数关系，并且y是x的函数． (1)某人坐摩天轮一圈用时8分钟．若摩天轮匀速转动，则他的高度与摩天轮转动时间有依赖关系吗？当他位于摩天轮一半高度时，摩天轮转了多少分钟？ (2)某人坐摩天轮一圈用时8分钟．若摩天轮匀速转动，把摩天轮的转动时间作为自变量，他的高度h为因变量，则每取一个t值，有几个h值与之对应？ [提示]　(1)该人的高度与摩天轮转动时间有依赖关系．当他位于摩天轮一半高度时，摩天轮转了2分钟或6分钟． (2)每取一个t值，有唯一一个h值与之对应． 1．下列各量间不存在依赖关系的是(　　) A．扇形的圆心角与它的面积 B．某人的体重与其饮食情况 C．水稻的亩产量与施肥量　 D．某人的衣着价格与视力 [答案]　D 2．给出下列关系： ①人的年龄与他(她)拥有的财富之间的关系； ②抛物线上的点与该点坐标之间的关系； ③橘子的产量与气候之间的关系； ④某同学在6次考试中的数学成绩与他的考试号之间的关系． 其中不是函数关系的有________(填序号)． ①③④　[由已知关系判断得，①③④中关系不确定，故不是函数关系，只有②是函数关系．] 类型1　依赖关系与函数关系的辨析 【例1】　下列各组中两个变量之间是否存在依赖关系？其中哪些是函数关系？ ①速度不变的情况下，汽车行驶的路程与行驶时间； ②家庭收入愈多，其消费支出也有增长的趋势； ③正三角形的面积和它的边长． [解]　①中在速度不变的情况下，行驶路程s与行驶时间t之间存在正比例关系； ②中家庭收入与其消费支出之间存在依赖关系，但具有不确定性； ③中正三角形的面积S与其边长a间存在S＝a2的关系． 综上可知①②③中两个变量间都存在依赖关系，其中①③是函数关系． 判断两个变量有无依赖关系，主要看其中一个变量变化时，另一个变量是否随之变化.而判断两个变量是否具有函数关系，关键是看对于一个变量的每一个值，另一变量是否都有唯一确定的值与之对应. [跟进训练] 1．下列过程中，各变量之间是否存在依赖关系？若存在依赖关系，则其中哪些是函数关系？ (1)将保温瓶中的热水倒入茶杯中缓慢冷却，并将一温度计放入茶杯中，每隔一段时间，观察温度计示数的变化，冷却时间与温度计示数的关系； (2)家庭的食品支出与电视机价格之间的关系． [解]　(1)冷却时间与温度计示数具有依赖关系，根据函数定义知，二者之间是函数关系； (2)家庭的食品支出与电视机价格之间没有依赖关系． 综上可知，(1)中的变量间具有依赖关系，且是函数关系；(2)中两个变量不存在依赖关系． 类型2　变量关系的表示 【例2】　声音在空气中传播的速度简称声速，实验测得声速与气温的一些数据如下表： 气温x/℃ 0 5 10 15 20 声速y(米/秒) 331 334 337 340 343 (1)根据表内数据作图； (2)用x表示y； (3)气温为22 ℃时，某人看到烟花燃放5秒后才听到声响，那么此人与燃放的烟花所在地约相距多少米． [解]　(1) 此图反映的是变量声速随气温的变化． (2)由表中数据可知，气温每升高5 ℃，声速加快3米/秒，又过点(0，331)， 故所求函数关系式为y＝x＋331． (3)由(2)可知气温为22 ℃时，声速y＝×22＋331， 故此人与燃放的烟花所在地约相距为5×＝66＋1 655＝1 721(米)． 借助图表可使两个变量间的关系直观化，从而更便于我们从中发现规律. [跟进训练] 2．心理学家发现，学生对概念的接受能力y与提出概念所用的时间x(单位：分)之间有如下关系：(其中0≤x≤20) 提出概念 所用时间(x) 2 5 7 10 12 13 14 17 20 对概念的 接受能力(y) 47.8 53.5 56.3 59 59.8 59.9 59.8 58.3 55 (1)上表中反映了哪两个变量之间的关系？哪个是自变量？哪个是因变量？ (2)当提出概念所用时间是10分钟时，学生的接受能力是多少？ (3)根据表格中的数据，你认为提出概念几分钟时，学生的接受能力最强？ (4)从表格中可知，当时间x在什么范围内时，学生的接受能力逐步增强？当时间x在什么范围内时，学生的接受能力逐步降低？ [解]