(讲义)第1章 4.3 一元二次不等式的应用-【提分教练】2023-2024学年新教材高中数学必修第一册(北师大版2019)

4.3　一元二次不等式的应用 1．掌握简单的分式不等式的解法．(重点) 2．能够构建一元二次函数模型，解决实际问题．(重点、难点) 1．借助分式不等式的求解，培养数学运算素养． 2．通过构建一元二次函数模型，培养数学建模素养． 利用不等式解决实际问题的一般步骤是什么？ 1．分式不等式的解法 类型 同解不等式 >0(其中a，b，c，d为常数) 法一： ，或 ； 法二：(ax＋b)(cx＋d)>0． ≥0(其中a，b，c，d为常数) 法一： ，或 ； 法二：． >k(其中a，b，c，d，k为常数) 先移项转化为>0，再求解 对于分式不等式的其他类型，可仿照上述方法求解． 已知集合A＝，则集合∁RA与相等吗？ [提示]　　不相等，∁RA＝． 2．利用不等式解决实际问题的一般步骤． (1)选取合适的字母表示题中的未知数； (2)由题中所给的不等关系，列出关于未知数的不等式(组)； (3)求解所列出的不等式(组)； (4)结合题目的实际意义确定答案． 类型1　分式不等式的解法 【例1】　解不等式≤3． [解]　 原不等式可化为－3≤0，即≤0， ∴≥0， ∴ 解得x≥或x<0． 故原不等式的解集为{x|x≥或x<0}． 分式不等式的一般解题步骤 1移项并通分，不等式右侧化为“0”； 2转化为同解的整式不等式； 3解整式不等式. [跟进训练] 1．不等式≥0的解集是(　　) A．[2，＋∞) B．(－∞，1]∪(2，＋∞) C．(－∞，1) D．(－∞，1)∪[2，＋∞) D　[原不等式可化为 解得x≥2或x＜1， 故原不等式的解集为(－∞，1)∪[2，＋∞)．] 类型2　不等式恒成立问题 【例2】　若(m＋1)x2－(m－1)x＋3(m－1)<0对任意实数x恒成立，求实数m的取值范围． [解]　由题意可知当m＋1＝0， 即m＝－1时， 原不等式可化为2x－6<0， 解得x<3，不符合题意，应舍去． 当m＋1≠0时， 若(m＋1(x2－(m－1(x＋3(m－1(<0对任何实数x恒成立，则有 解得m<－． 综上所述， 实数m的取值范围是． 一元二次不等式在R上的恒成立问题 1一元二次不等式ax2＋bx＋c>0，对任意实数x∈R恒成立的条件是 2一元二次不等式ax2＋bx＋c≥0，对任意实数x∈R恒成立的条件是 3一元二次不等式ax2＋bx＋c<0，对任意实数x∈R恒成立的条件是 4一元二次不等式ax2＋bx＋c≤0，对任意实数x∈R恒成立的条件是 注意：当不等式ax2＋bx＋c>0未说明为一元二次不等式时，对任意实数x∈R恒成立时满足的条件为或. [跟进训练] 2．已知不等式ax2＋4x＋a＞1－2x2对一切实数x恒成立，求实数a的取值范围． [解]　原不等式等价于(a＋2)x2＋4x＋a－1＞0对一切实数x恒成立，显然a＝－2时，解集不是R，因此a≠－2， 从而有 整理得所以 所以a＞2． 故a的取值范围是(2，＋∞)． 类型3　一元二次不等式的实际应用 【例3】　某农贸公司按每担200元收购某农产品，并按每100元纳税10元(又称征税率为10个百分点)，计划可收购a万担，政府为了鼓励收购公司多收购这种农产品，决定将征税率降低x(x≠0)个百分点，预测收购量可增加2x个百分点． (1)写出税收y(万元)与x的函数关系式； (2)要使此项税收在税率调节后，不少于原计划税收的83.2%，试确定x的取值范围． [解]　(1)降低税率后的税率为(10－x)%，农产品的收购量为a(1＋2x%)万担，收购总金额为200a(1＋2x%)． 依题意：y＝200a(1＋2x%)(10－x)%＝a(100＋2x)(10－x)(0<x<10)． (2)原计划税收为200a·10%＝20a(万元)． 依题意得：a(100＋2x)(10－x)≥20a×83.2%， 化简得，x2＋40x－84≤0， ∴－42≤x≤2． 又∵0<x<10，∴0<x≤2． ∴x的取值范围是{x|0<x≤2}． 解不等式应用题的步骤 [跟进训练] 3．某单位在对一个长800 m，宽600 m的荒地进行绿化时是这样想的：中间为矩形绿草坪，四周是等宽的花坛，如图所示，若要保证绿草坪的面积不小于总面积的二分之一，试确定花坛宽度的取值范围． [解]　设花坛的宽度为x m，则草坪的长为(800－2x)m，宽为(600－2x)m．根据题意得(800－2x)·(600－2x)≥×800×600，整理得x2－700x＋60 000≥0， 解得x≤100或x≥600(舍去)， 由题意知0＜x＜300， 所以0＜x≤100． 即当花坛的宽度取值范围为(0，100]时，绿草坪的面积不小于总面积的二分之一． 1．不等式≥0的解集为(　　) A．{x|1≤x≤2} B．{x|x