(讲义)第1章 4.1 一元二次函数-【提分教练】2023-2024学年新教材高中数学必修第一册(北师大版2019)

§4　一元二次函数与一元二次不等式 4.1　一元二次函数 1．掌握一元二次函数的图象及图象变换．(重点) 2．会求一元二次函数的最值及相关问题．(重点、难点) 1．通过学习一元二次函数的图象，培养直观想象素养． 2．借助一元二次函数性质的应用，培养逻辑推理素养． 1．函数y＝a(x－h)2＋k(a≠0)中，a，h，k分别对该函数的图象起了什么作用？ 2．如何确定函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象开口方向、对称轴、顶点坐标、单调区间和最值？ 1．抛物线 通常把一元二次函数的图象叫作抛物线． 2．一元二次函数的图象变换 一元二次函数y＝a(x－h)2＋k的图象可以由y＝ax2的图象经过向左(或向右)平移|h|个单位长度，再向上(或向下)平移|k|个单位长度而得到． 3．一元二次函数的性质 函数y＝ax2＋bx＋c(a，b，c是常数，a≠0) a>0 a<0 图象 性质 抛物线开口向上，并向上无限延伸 抛物线开口向下，并向下无限延伸 对称轴是x＝－；顶点坐标是 在区间上y随x的增大而减小，在区间上y随x的增大而增大 在区间上y随x的增大而增大，在区间上y随x的增大而减小 抛物线有最低点， 当x＝－时，y有最小值，ymin＝ 抛物线有最高点， 当x＝－时，y有最大值，ymax＝ (1)如何把一元二次函数的一般式化成顶点式？ (2)①能否仅通过平移函数y＝x2的图象得到y＝(x－1)2的图象？ ②一元二次函数y＝a(x－h)2＋k(a≠0)的参数a对其图象的开口大小与方向有什么影响？ [提示]　(1)y＝ax2＋bx＋c＝a＋c ＝a＋c ＝a＋c＝a－＋c ＝a＋． (2)①不能，平移只改变图象的位置，不改变其形状，而二者形状不同． ②当a>0时，图象开口向上，a值越大，开口越小； 当a<0时，图象开口向下，a值越大，开口越大． 1．思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”) (1)函数y＝2x2与y＝－2x2的图象开口大小相同，开口方向相反． (　　) (2)函数y＝2(x－1)2＋1的图象可由函数y＝2x2的图象向右平移1个单位长度，再向上平移1个单位长度得到． (　　) (3)函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)在上y随x的增大而增大． (　　) (4)函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)在x＝－处取得最大值． (　　) [答案]　(1)√　(2)√　(3)×　(4)× 2．若函数y＝x2＋2(2a－1)x＋2在区间(－∞，7]上y随x的增大而减小，则实数a的取值范围是(　　) A．{－3} B．(－3，＋∞) C．(－∞，－3] D．[－3，＋∞) C　[由在区间(－∞，7]上函数值y随自变量x的增大而减小，可知－(2a－1)≥7，所以a≤－3.] 3．函数y＝x2－1的最小值是________． －1　[y＝x2－1≥－1，所以函数的最小值为－1．] 4．函数y＝x2＋2x＋3的图象可由y＝x2＋x的图象向左移________单位长度，再向上平移________个单位长度得到． 　　[y＝x2＋2x＋3＝(x＋1)2＋2，y＝x2＋x＝－，将y＝x2＋x的图象向左平移个单位长度，再向上平移个单位长度即得到y＝x2＋2x＋3的图象．] 类型1　二次函数的图象及应用 【例1】　在同一坐标系中作出下列函数的图象． (1)y＝x2；(2)y＝x2－2；(3)y＝2x2－4x． 并分析如何由y＝x2的图象变换成y＝2x2－4x的图象． [解]　列表： x －3 －2 －1 0 1 2 3 y＝x2 9 4 1 0 1 4 9 y＝x2－2 7 2 －1 －2 －1 2 7 y＝2x2－4x 30 16 6 0 －2 0 6 描点、连线即得相应函数的图象，如图所示． 由图象可知由y＝x2到y＝2x2－4x的变化过程如下． 法一：先把y＝x2的图象向右平移1个单位长度得到y＝(x－1)2的图象，然后把y＝(x－1)2的图象横坐标不变，纵坐标变为原来的2倍，得到y＝2(x－1)2的图象，最后把y＝2(x－1)2的图象向下平移2个单位长度便可得到y＝2x2－4x的图象． 法二：先把y＝x2的图象向下平移1个单位长度得到y＝x2－1的图象，然后再把y＝x2－1的图象向右平移1个单位长度得到y＝(x－1)2－1的图象，最后把y＝(x－1)2－1的图象横坐标不变，纵坐标变为原来的2倍，便可得到y＝2(x－1)2－2，即y＝2x2－4x的图象． 任意一元二次函数y＝ax2＋bx＋c都可转化为y＝a(x－h)2＋k的形式，都可由y＝ax2图象经过适当的平移得到，具体平移方法如图所示： 上述平移规律为：“h正右移，h负左移”