(讲义)第1章 3.2 基本不等式-【提分教练】2023-2024学年新教材高中数学必修第一册(北师大版2019)

3.2　基本不等式 1．掌握基本不等式≤(a≥0，b≥0，当且仅当a＝b时等号成立)．(重点、易错点) 2．结合具体实例，能用基本不等式解决简单的最大值或最小值问题．(难点) 1．通过利用基本不等式求最值，提升数学运算素养． 2．借助基本不等式在实际问题中的应用，培养数学建模素养． 1．基本不等式的内容是什么？ 2．算术平均值和几何平均值的概念是什么？ 3．基本不等式成立的条件是什么？ 4．利用基本不等式求最值时，应注意哪些问题？ 知识点1　重要不等式与基本不等式 1．重要不等式 对任意实数x和y，有≥xy，当且仅当x＝y时，等号成立． 2．基本不等式 设a≥0，b≥0，有≥，当且仅当a＝b时，等号成立． 其中，称为a，b的算术平均值，称为a，b的几何平均值． 基本不等式又称为均值不等式，也可以表述为：两个非负实数的算术平均值大于或等于它们的几何平均值． 1．(1)不等式a2＋b2≥2ab与≥成立的条件相同吗？ (2)基本不等式成立的条件“a≥0，b≥0”能省略吗？请举例说明． [提示]　(1)不相同．不等式a2＋b2≥2ab成立的条件是a，b∈R，不等式≥成立的条件是a≥0，b≥0． (2)不能，如≥是不成立的． 1．(多选)下列结论正确的是(　　) A．对于任意a，b∈R，a2＋b2≥2ab，a＋b≥2均成立 B．若a，b同号，则＋≥2 C．若a>0，b<0，则ab≤恒成立 D．若a>0，b>0，且a≠b，则a＋b>2 [答案]　BD 2．不等式(x－2y)＋≥2成立的前提条件为________． x>2y　[因为不等式成立的前提条件是各项均为正，所以x－2y>0，即x>2y．] 知识点2　基本不等式与最值 当x，y均为正数时，下面的命题均成立： (1)若x＋y＝s(s为定值)，则当且仅当x＝y时，xy取得最大值； (2)若xy＝p(p为定值)，则当且仅当x＝y时，x＋y取得最小值2． 2．x＋的最小值是2吗？ [提示]　当x>0时，x＋的最小值是2． 当x<0时，x＋没有最小值． 3．如果a>0，那么a＋＋2的最小值是________． 4　[因为a>0，所以a＋＋2≥2＋2＝2＋2＝4，当且仅当a＝1时，等号成立．] 4．已知0<x<1，则x(1－x)的最大值为________，此时x＝________． 　　[因为0<x<1，所以1－x>0， 所以x(1－x)≤＝＝， 当且仅当x＝1－x，即x＝时“＝”成立，即当x＝时，x(1－x)取得最大值．] 类型1　利用基本不等式判断或证明不等式 【例1】　(1)(多选)若a＞0，b＞0，则下列不等式恒成立的是(　　) A．a2＋1＞a B．a2＋9＞6a C．(a＋b)≥4 D．≥4 (2)已知a>0，b>0，c>0，且a＋b＋c＝1．求证：≥8． (1)ACD　[对于A选项，a2＋1－a＝＋＞0，故A选项中的不等式恒成立； 对于B选项，a2＋9－6a＝(a－3)2≥0，故B选项中的不等式不恒成立； 对于C选项，(a＋b)＝1＋＋＋1≥2＋2＝4，当且仅当＝，即a＝b时取等号，故C选项中的不等式恒成立； 对于D选项，因为a＋≥2，b＋≥2，所以≥4，当且仅当a＝，b＝，即a＝b＝1时取等号，故D选项中的不等式恒成立．故选ACD．] (2)[证明]　因为a>0，b>0，c>0，且a＋b＋c＝1， 所以－1＝＝≥， 同理－1≥，－1≥． 上述三个不等式两边均为正，由不等式同向同正可乘性，分别相乘， 得≥··＝8． 当且仅当a＝b＝c＝时，等号成立． [母题探究] (变设问)在本例(2)条件下，求证：＋＋≥9． [证明]　因为a>0，b>0，c>0，且a＋b＋c＝1， 所以＋＋ ＝＋＋ ＝3＋＋＋≥3＋2＋2＋2＝9． 当且仅当a＝b＝c＝时，等号成立． 利用基本不等式证明不等式的策略与注意事项 1策略：从已证不等式和问题的已知条件出发，借助不等式的性质和有关定理，经过逐步的逻辑推理，最后转化为所求问题，其特征是以“已知”看“可知”，逐步推向“未知”. 2注意事项： ①多次使用基本不等式时，要注意等号能否成立； ②累加法是不等式证明中的一种常用方法，证明不等式时注意使用； ③对不能直接使用基本不等式证明的，可重新组合，构成基本不等式模型再使用. [跟进训练] 1．已知a，b，c均为正实数，求证：＋＋≥3． [证明]　∵a，b，c均为正实数， ∴＋≥2(当且仅当a＝2b时等号成立)， ＋≥2(当且仅当a＝3c时等号成立)， ＋≥2(当且仅当2b＝3c时等号成立)， 将上述三式相加得＋＋≥6(当且仅当a＝2b＝3c时等号成立)， ∴＋＋≥3(当且仅当a＝2b＝3c时等号成立)， 即＋＋≥3(当且仅当a＝2b＝3c时等号成立)． 类型2　利用基本不等式求最值 【例2】