(讲义)第1章 2.2 全称量词与存在量词-【提分教练】2023-2024学年新教材高中数学必修第一册(北师大版2019)

2.2　全称量词与存在量词 1．通过已知的数学实例，理解全称量词与存在量词的意义．(重点) 2．能正确使用存在量词对全称量词命题进行否定．(易错点、难点) 3．能正确使用全称量词对存在量词命题进行否定．(易错点、难点) 1．通过对含量词的命题的否定，培养逻辑推理素养． 2．借助含量词的命题的应用，培养数学运算素养． 1．全称量词、全称量词命题的定义是什么？ 2．存在量词、存在量词命题的定义是什么？ 3．全称量词命题与存在量词命题的否定分别是什么命题？ 4．全称量词命题“∀x∈M，x具有性质p(x)”的否定是什么？ 5．存在量词命题“∃x∈M，x具有性质p(x)”的否定是什么？ 知识点1　全称量词命题与全称量词 1．全称量词命题 在给定集合中，断言所有元素都具有同一种性质的命题． 2．全称量词 在命题中，诸如“所有”“每一个”“任意”“任何”“一切”这样的词叫作全称量词，用符号“∀”表示，读作“对任意的”． 1．“相似三角形是全等三角形”是否是全称量词命题？ [提示]　该命题是全称量词命题，只不过省略了全称量词． 1．思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”) (1)命题“任意一个自然数都是正整数”是全称量词命题． (　　) (2)命题“三角形的内角和是180°”是全称量词命题． (　　) (3)命题“梯形有两边平行”不是全称量词命题． (　　) [答案]　(1)√　(2)√　(3)× 2．下列命题是全称量词命题的是________(填序号)． ①每个四边形的内角和都是360°； ②任何实数都有算术平方根； ③∀x∈Z，有2x＋1是整数； ④存在一个x∈R，使2x＋1＝3． [答案]　①②③ 知识点2　存在量词命题与存在量词 1．存在量词命题 在给定集合中，断言某些元素具有一种性质的命题． 2．存在量词 在命题中，诸如“有些”“有一个”“存在”这样的词叫作存在量词，用符号“∃”表示，读作“存在”． 2．“不等式x2－1<0有解”是全称量词命题还是存在量词命题？用符号表示该命题． [提示]　是存在量词命题，可表示为“∃x∈R，x2－1<0”． 3．思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”) (1)命题“有些菱形是正方形”是全称量词命题． (　　) (2)命题“存在一个菱形，它的四条边不相等”是存在量词命题． (　　) (3)命题“有的实数绝对值是正数”是存在量词命题． (　　) [答案]　(1)×　(2)√　(3)√ 4．下列语句是存在量词命题的是________(填序号)． ①任意三条线段都能构成三角形； ②存在整数n，使n能被11整除； ③若3x－7＝0，则x＝． [答案]　② 知识点3　全称量词命题与存在量词命题的否定 1．全称量词命题的否定 (1)全称量词命题的否定是存在量词命题． (2)全称量词命题p：∀x∈M，x具有性质p(x)的否定为：∃x∈M，x不具有性质p(x)． 2．存在量词命题的否定 (1)存在量词命题的否定是全称量词命题． (2)存在量词命题p：∃x∈M，x具有性质p(x)的否定为：∀x∈M，x不具有性质p(x)． 3．如何对省略量词的命题进行否定？ [提示]　对于含有一个量词的命题，容易知道它是全称量词命题或存在量词命题．一般地，省略了量词的命题是全称量词命题，可加上“所有的”或“对任意”，它的否定是存在量词命题．反之，亦然． 5．命题“对于任意的x∈R，x3－x2＋1≤0”的否定是________． [答案]　∃x∈R，x3－x2＋1>0 6．若命题p：∃x>0，x2－3x＋2>0，则命题p的否定为________． [答案]　∀x>0，x2－3x＋2≤0 类型1　全称量词命题与存在量词命题的判断 【例1】　判断下列语句是全称量词命题，还是存在量词命题： (1)凸多边形的外角和等于360°； (2)矩形的对角线不相等； (3)若一个四边形是菱形，则这个四边形的对角线互相垂直； (4)有些实数a，b能使|a－b|＝|a|＋|b|； (5)方程3x－2y＝10有整数解． [解]　(1)可以表述为“所有的凸多边形的外角和等于360°”，故为全称量词命题． (2)可以表述为“所有矩形的对角线不相等”，故为全称量词命题． (3) “若一个四边形是菱形”，也就是“所有的菱形”，故为全称量词命题． (4)含存在量词“有些”，故为存在量词命题． (5)可改表述为“存在一对整数x，y，使3x－2y＝10成立”．故为存在量词命题． 判断一个语句是全称量词命题还是存在量词命题的思路 注意：(1)全称量词命题中的全称量词表明给定范围内所有对象都具有某一性质，无一例外，强调“整体”“全部”． (2)存在量词命题中的存在量词表明给定范围内的对象有例外，强调“个别”“部分”． [跟进训练] 1．判断下列命题是全称量词命题还