(讲义)第1章 1.3 第2课时 全集与补集-【提分教练】2023-2024学年新教材高中数学必修第一册(北师大版2019)

第2课时　全集与补集 1．了解全集的含义及符号表示．(重点) 2．理解给定集合中一个子集的补集的含义，能求给定子集的补集．(重、难点) 3．会用Venn图、数轴进行集合的运算．(重点) 1．通过补集的运算，培养数学运算素养． 2．借助集合对实际生活中的对象进行判断归类，培养数学抽象素养． 1．全集的含义是什么？ 2．补集的含义是什么？ 3．如何理解“∁UA”的含义？ 4．如何用Venn图表示∁UA? 1．全集：在研究某些集合的时候，它们往往是某个给定集合的子集，这个给定的集合叫作全集，常用符号U表示．全集包含所要研究的这些集合． 1．在集合运算问题中，全集一定是实数集吗？ [提示]　全集是一个相对性的概念，只包含研究问题中涉及的所有的元素，所以全集因问题的不同而异． 2．补集：(1)定义：设U是全集，A是U的一个子集(即A⊆U)，则由U中所有不属于A的元素组成的集合，叫作U中子集A的补集，记作∁UA． (2)符号：∁UA＝{x|x∈U，且x∉A}． (3)Venn图 (4)补集的性质 ①A∪(∁UA)＝U． ②A∩(∁UA)＝∅． ③∁UU＝∅，∁U∅＝U，∁U(∁UA)＝A． ④(∁UA)∩(∁UB)＝∁U(A∪B)． ⑤(∁UA)∪(∁UB)＝∁U(A∩B)． 2．∁UA，A，U三者之间有什么关系？ [提示]　A⊆U，∁UA⊆U，A∪(∁UA)＝U，A∩(∁UA)＝∅． 1．思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”) (1)数集问题的全集一定是R． (　　) (2)集合∁BC与∁AC相等． (　　) (3)A∩∁UA＝∅． (　　) (4)一个集合的补集中一定含有元素． (　　) [答案]　(1)×　(2)×　(3)√　(4)× 2．设全集U＝{1，2，3，4，5，6}，M＝{1，3，5}，则∁UM＝________． {2，4，6}　[因为全集U＝{1，2，3，4，5，6}，M＝{1，3，5}，所以∁UM＝{2，4，6}．] 类型1　补集运算 【例1】　已知全集U，A＝{x|2<x≤3}，∁UA＝{x|x>3}，B＝{x|4≤x＜6}，求∁UB． [解]　因为A＝{x|2<x≤3}，∁UA＝{x|x>3}，如数轴： 所以U＝A∪(∁UA)＝{x|x>2}， 所以∁UB＝{x|2<x<4或x≥6}． 求集合补集的2种方法 (1)当集合用列举法表示时，直接用定义或借助Venn图求解； (2)当集合是用描述法表示的连续实数集时，可借助数轴，利用数轴分析求解． [跟进训练] 1．(1)设集合A＝{x∈N*|x≤6}，B＝{2，4}，则∁AB＝(　　) A．{2，4} B．{0，1，3，5} C．{1，3，5，6} D．{0，1，3，5，6} (2)设全集U＝{1，2，6，8，9}，集合A＝{1，|a－6|，9}，∁UA＝{6，8}，则a的值是(　　) A．4 B．8 C．－4或8 D．4或8 (1)C　(2)D　[(1)因为A＝{1，2，3，4，5，6}，所以∁AB＝{1，3，5，6}，故选C． (2)A＝∁U(∁UA)＝{1，2，9}＝{1，|a－6|，9}， ∴|a－6|＝2，解得a＝4或8，故选D．] 类型2　交、并、补的综合运算 【例2】　设全集为R，A＝{x|3≤x<7}，B＝{x|2<x<10}，求∁R(A∪B)及(∁RA)∩B． [解]　把全集R和集合A、B在数轴上表示如下： 由图知，A∪B＝{x|2<x<10}， ∴∁R(A∪B)＝{x|x≤2或x≥10}， ∵∁RA＝{x|x<3或x≥7}， ∴(∁RA)∩B＝{x|2<x<3或7≤x<10}． 解决集合交、并、补运算的技巧 (1)如果所给集合是有限集，则先把集合中的元素一一列举出来，然后结合交集、并集、补集的定义来求解．在解答过程中常常借助于Venn图来求解． (2)如果所给集合是无限集，则常借助数轴，把已知集合及全集分别表示在数轴上，然后进行交、并、补集的运算．解答过程中要注意边界是否能够取到． [跟进训练] 2．(1)已知U＝{1，2，3，4，5，6，7，8}，A＝{1，3，5，7}，B＝{2，4，5}，则∁U(A∪B)＝(　　) A．{6，8} B．{5，7} C．{4，6，7} D．{1，3，5，6，8} (2)设集合A＝{x|1<x<4}，集合B＝{x|－1≤x≤3}，则A∩(∁RB)＝(　　) A．(1，4) B．(3，4) C．(1，3) D．(1，2)∪(3，4) (1)A　(2)B　[(1)∵A∪B＝{1，2，3，4，5，7}， ∴∁U(A∪B)＝{6，8}． (2)∵∁RB＝(－∞，－1)∪(3，＋∞)，∴A∩(∁RB)＝(3，4)．] 类型3　与补集有关的参数值(范围)的求解 【例3】　设全集U＝R，A＝{x|x＋m≥0