(讲义)第1章 1.2 集合的基本关系-【提分教练】2023-2024学年新教材高中数学必修第一册(北师大版2019)

1.2　集合的基本关系 1．理解集合之间的包含与相等的含义，能识别集合的子集．(重点) 2．能使用Venn图表达集合间的基本关系，会判断集合间的关系．(难点、易错点) 1．通过对集合之间包含与相等的含义以及子集、真子集概念的学习，培养数学抽象素养． 2．借助子集、真子集的应用，培养逻辑推理素养． 1．集合与集合之间的关系有哪几种？如何用符号表示这些关系？ 2．集合的子集是什么？真子集又是什么？如何用符号表示？ 1．Venn图 用平面上封闭曲线的内部表示集合，称为Venn图． 2．子集、集合相等、真子集 子集 集合相等 真子集 概念 一般地，对于两个集合A与B，如果集合A中的任何一个元素都属于集合B，称集合A是集合B的子集，记作A⊆B(或B⊇A)，读作“A包含于B”(或“B包含A”) 如果集合A是集合B的子集，且集合B也是集合A的子集，那么称集合A与集合B相等，记作A＝B 对于两个集合A与B，如果A⊆B，且A≠B，那么称集合A是集合B的真子集，记作AB(或BA)，读作“A真包含于B”(或“B真包含A”) 图示 结论 (1)任何一个集合都是它本身的子集，即A⊆A (2)空集是任何集合的子集，即∅⊆A (3)对于集合A，B，C，如果A⊆B，且B⊆C，那么A⊆C 若A＝B且B＝C，则A＝C (1)若AB且BC，则AC (2)若A⊆B且A≠B，则AB (1)任何一个集合都有真子集吗？ (2)∅与0，{0}，{∅}有何区别？ [提示]　(1)不是，空集没有真子集． (2) ∅与0 ∅与{0} ∅与{∅} 相同点 都表示无的意思 都是集合 都是集合 不同点 ∅是集合；0是实数 ∅不含任何元素；{0}含一个元素0 ∅不含任何元素；{∅}含一个元素，该元素是空集∅ 关系 0∉∅ ∅{0} ∅{∅}或∅∈{∅} 1．已知集合P＝{－1，0，1，2}，Q＝{－1，0，1}，则(　　) A．P∈Q B．P⊆Q C．Q⊆P D．Q∈P C　[集合Q中的元素都在集合P中，所以Q⊆P．] 2．已知集合A＝{x|－1<x<2}，B＝{x|0<x<1}，则(　　) A．BA B．AB C．B<A D．A<B A　[由题意结合集合在数轴上的表示确定两集合的关系即可．如图所示，BA． ] 3．设a∈R，若集合{2，9}＝{1－a，9}，则a＝________． －1　[因为{2，9}＝{1－a，9}，则2＝1－a，所以a＝－1．] 类型1　集合间的关系的判断 【例1】　判断下列各组中集合间的关系． (1)A＝，B＝{x|x是等边三角形}； (2)A＝{x|－1<x<4}，B＝{x|x<5}； (3)A＝，B＝； (4)A＝{x|y＝}，B＝{y|y＝}． [解]　(1)因为等边三角形一定是等腰三角形，但等腰三角形不一定是等边三角形，故BA． (2)把集合A与B在数轴上表示出来，根据定义易得AB． (3)集合B中，当n＝2k－1，k∈Z时，x＝k＋，当n＝2k，k∈Z时，x＝k＋1，因此AB． (4)由x＋1≥0得x≥－1，即A＝{x|x≥－1}， 由≥0得y≥0，即B＝{y|y≥0}， ∴AB． 判断集合间关系的常用方法 (1)列举观察法 当集合中元素较少时，可列举出集合中的全部元素，通过定义得出集合之间的关系． (2)集合元素特征法 先确定集合的代表元素是什么，弄清集合元素的特征，再利用集合元素的特征判断得出集合之间的关系． 一般地，设A＝{x|p(x)}，B＝{x|q(x)}，①若由p(x)可推出q(x)，则A⊆B；②若由q(x)可推出p(x)，则B⊆A；③若p(x)，q(x)可互相推出，则A＝B；④若由p(x)推不出q(x)，由q(x)也推不出p(x)，则集合A，B无包含关系． (3)数形结合法 利用数轴或Venn图可清晰、明了地判断集合间的关系，其中不等式的解集之间的关系，适合用数轴法． [跟进训练] 1．(多选)下列关系中，正确的有(　　) A．0∈{0} B．∅{0} C．{0，1}{(0，1)} D．{(1，2)}＝{(2，1)} AB　[对于A，集合{0}中含有1个元素0，所以0∈{0}正确；对于B，由于空集是任何非空集合的真子集，所以∅{0}正确；对于C，{0，1}是数集，{(0，1)}是点集，所以C错误；对于D，{(1，2)}与{(2，1)}是不同的点集，所以D错误．] 2．能正确表示集合M＝{x∈R|0≤x≤2}和集合N＝{x∈R|x2－x＝0}关系的Venn图是(　　) A　　　　B　　　　C　　　　D B　[解x2－x＝0得x＝1或x＝0，故N＝{0，1}，易得NM，其对应的Venn图如选项B所示．] 3．设M＝{x|x＝a2＋1，a∈R}，P＝{y|y＝