第14讲 余弦函数与正切函数-2023-2024学年高一数学秋季讲义（人教A版2019必修第一册）

第14讲 余弦函数与正切函数 【人教A版2019】 ·模块一 余弦函数 ·模块二 正切函数 ·模块三 课后作业 模块一 余弦函数 1．余弦函数的图象 (1)余弦函数的图象 ①图象变换法作余弦函数的图象 由诱导公式六，我们知道，而函数,x∈R的图象可以通过正弦函 数y=,x∈R的图象向左平移个单位长度而得到.所以将正弦函数的图象向左平移个单位长度，就得到余弦函数的图象，如图所示. ②五点法作余弦函数的图象 类似于正弦函数图象的作法，从余弦函数y=,x∈R的图象可以看出，要作出函数y=在[0,2] 上的图象，起关键作用的五个点是：(0,1),(,0),(,-1),(,0),(2,1).先描出这五个点，然后把这五个点用一条光滑的曲线连接起来就得到了函数y=在[0,2]上的简图，再通过左右平移(每次移动2个单位长度)即可得到余弦函数y=,x∈R的图象. (2)余弦曲线 余弦函数的图象叫做余弦曲线.它是具有相同形状的“波浪起伏”的连续光滑曲线. 2．余弦函数的性质 (1)周期函数 ①定义：一般地，设函数f(x)的定义域为D，如果存在一个非零常数T，使得对每一个x∈D都有x+T∈D， 且f(x+T)=f(x)，那么函数f(x)就叫做周期函数，非零常数T叫做这个函数的周期. ②最小正周期：如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做f(x) 的最小正周期. (2)余弦函数的性质 余弦函数的图象与性质如下表： 函数 y=cosx 图象 定义域 R 值域 [-1,1] 周期性 最小正周期：2π 奇偶性 偶函数 单调性 增区间 减区间 最值 图象对称性 对称中心： 对称轴方程： 【考点1 余弦函数的图象与性质】 【例1.1】（2023·河南新乡·统考三模）已知函数图象的一个对称中心是，点在的图象上，下列说法错误的是（    ） A． B．直线是图象的一条对称轴 C．在上单调递减 D．是奇函数 【例1.2】（2023上·黑龙江哈尔滨·高一校考期末）已知函数，其中表示不超过的最大整数（例如：，），下列关于说法正确的是（    ） A．函数为偶函数 B．的值域为 C．为周期函数且周期 D．与的图象恰有两个公共点 【变式1.1】（2023·河北保定·统考二模）已知函数，则下列结论错误的是（    ） A．时，关于对称 B．时，的一个周期为 C．时，在上单调递增 D．时，的两个零点为，则 【变式1.2】（2023下·安徽·高三校考阶段练习）已知函数，其中，若，对任意的都有，且在上单调，则下列说法错误的是（    ） A．关于对称 B． C．一定是奇数 D．有两个不同的值 【考点2 余弦函数中的含参问题】 【例2.1】（2023·陕西商洛·镇安中学校考模拟预测）若函数在区间上单调递减，则正数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【例2.2】（2023上·山东·高二校联考开学考试）已知函数在上仅有一个零点，则ω的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式2.1】（2023上·湖北武汉·高二统考开学考试）若函数在有最小值无最大值，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式2.2】（2023·四川成都·四川省校考模拟预测）函数的最小正周期为，其图象关于点对称，且当时，的值域是，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【考点3 与余弦函数相关的复合函数】 【例3.1】（2023下·北京丰台·高一统考期中）已知函数，则下列说法正确的是（    ） A．为奇函数 B．的最小正周期为 C．在区间上单调递增 D．有最大值，没有最小值 【例3.2】（2022上·贵州黔东南·高三校考阶段练习）若函数在区间上的最大值是，则（    ） A．2 B．1 C．0 D． 【变式3.1】（2023上·内蒙古包头·高一期末）下列关于函数的表述正确的是（    ） A．函数的最小正周期是 B．当时，函数取得最大值2 C．函数是奇函数 D．函数的值域为 【变式3.2】（2022·江西抚州·临川一中校考模拟预测）关于函数有下列四个结论： ①的值域为；                    ②在上单调递减； ③的图象关于直线于对称；        ④的最小正周期为． 上述结论中，正确命题的个数有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 模块二 正切函数 1．正切函数的性质与图象 (1)正切函数的图象及性质 定义域 周期性 由诱导公式可知，正切函数是周期函数，周期是π. 奇偶性 由诱导公式可知，正切函数是奇函数. 图象 单调性 正切函数在每一个区间上都单调递增 值域 正切函数的值域是实数