3.2 利用导数研究函数的单调性 课件——2024届高三数学一轮复习

【教材梳理】 1.函数的单调性与导数的关系 一般地，函数 <m></m> 的单调性与导函数 <m></m> 的正负之间具有 如下的关系：在某个区间 <m></m> 上，如果__________，那么函数 <m></m> 在区间 <m></m> 上单调递增；如果_________，那么函数 <m></m> 在区间 <m></m> 上单调递减. <m></m> <m></m> 3.2 利用导数研究函数的单调性 2023.9.19 考点突破 · 新高考 返回至目录 1 3.函数值变化快慢与导数的关系 一般地，如果一个函数在某一范围内导数的绝对值较大， 那么函数在这个范围内变化得______，这时函数的图象就比 较“陡峭”（向上或向下）；反之，函数在这个范围内变化得___， 函数的图象就比较“平缓”. 较快 较慢 考点突破 · 新高考 返回至目录 2 【常用结论】 4.在某区间内 <m></m> 是函数 <m></m>在此区间上单调递增（减）的充分不必要条件. 可导函数 <m></m> 在 <m></m> 上单调递增（减）的充要条件是对 <m></m> ，都有 <m></m> 且 <m></m> 在 <m></m> 上的任何子区间内都不恒为零. 考点突破 · 新高考 返回至目录 3 1.判断下列命题是否正确，正确的在括号内画“√”,错误的画“×”. （1）若函数 <m></m> 在 <m></m> 内单调递增，则一定有 <m></m> . ( ) （2）若函数 <m></m> 在某个区间内恒有 <m></m> ，则 <m></m> 在此 区间内没有单调性.( ) （3）在 <m></m> 内, <m></m> 且 <m></m> 的根有有限个，则 <m></m> 在 <m></m> 内是减函数.( ) （4）函数 <m></m> 的单调递增区间为 <m></m> 和 <m></m> .( ) （5）若函数 <m></m> 在区间 <m></m> 内是增函数，则 实数 <m></m>的取值范围是 <m></m> .( ) 考点突破 · 新高考 返回至目录 4 考点一 导数法研究函数的单调性 命题角度1 不含参函数的单调性 例1 （1） 函数 <m></m> 的单调递增区间是( ) A. <m></m> B. <m></m> C. <m></m> 和 <m></m> D. <m></m> √ 考点突破 · 新高考 返回至目录 5 （2） 已知定义在区间 <m></m> 上的函数 <m></m> ， 则 <m></m> 的单调递增区间是_________________. 解： <m></m> . 令 <m></m> ， 则其在区间 <m></m> 上的解集为 <m></m> 和 <m></m> ， 即 <m></m> 的单调递增区间为 <m></m> 和 <m></m> . 故填 <m></m> 和 <m></m> . 考点突破 · 新高考 返回至目录 6 例2 （1） 已知函数 <m></m> ，其中实数 <m></m> , 讨论函数 <m></m> 的单调性. 考点突破 · 新高考 返回至目录 7 （2） 已知函数 <m></m> .求函数 <m></m> 的单调区间. 解： <m></m> 的定义域为 <m></m> ， <m></m> ， ①当 <m></m> 时，令 <m></m> ，解得 <m></m> ，令 <m></m> ，解得 <m></m> ， 则 <m></m> 的单调递减区间为 <m></m> ，单调递增区间为 <m></m> . ②当 <m></m> 时，令 <m></m> ，解得 <m></m> 或 <m></m> , 当 <m></m> 时， <m></m> ，当 <m></m> 时， <m></m> ， 则 <m></m> 的单调递减区间为 <m></m> 和 <m></m> ，单调递增区间为 <m></m> . ③当 <m></m> 时， <m></m> 恒成立，则 <m></m> 的单调递减区间为 <m></m> . 考点突破 · 新高考 返回至目录 8 ④当 <m></m> 时，令 <m></m> ，解得 <m></m> 或 <m></m> ， 当 <m></m> 时， <m></m> ，当 <m></m> 时， <m></m> ， 则 <m></m> 的单调递减区间为 <m></m> 和 <m></m> ，单调递增区间为 <m></m> . 考点突破 · 新高考 返回至目录 9 变式2.（1） 已知函数 <m></m> ,讨论 <m></m> 的单